Perdona si es una pregunta ingenua; no soy muy bueno en matemáticas.
Parece evidente que para muchos $x$ y $y$ , $x^y < y^x$ si $y \ll x$ Por ejemplo $2^{10} > 10^2$ . Si $x$ y $y$ están muy próximas entre sí, esto no se cumple (caso simple: $2^3 < 3^2$ ).
Entonces, ¿existe realmente esa regularidad? ¿Tiene un nombre? ¿Existe una regla exacta para la que $x$ y $y$ se mantiene (supongamos, para simplificar, que ambos son números naturales)?
Este es un problema interesante. Como dices que "no se te dan muy bien las matemáticas", primero daré el resultado y luego explicaré cómo se me ocurrió.
Si $x$ y $y$ son mayores que $2.71828\dots$ entonces $x^y < y^x$ si y sólo si $x > y$ .
Si $x$ y $y$ son inferiores a $2.71828\ldots$ entonces $x^y < y^x$ si y sólo si $x < y$ .
Si $x$ es menor que $2.71828\ldots$ y $y$ es mayor que $2.71828\ldots$ (o viceversa), debe calcular $x^y$ y $y^x$ para ver cuál es más grande.
El número $2.71828\ldots$ es La constante de Euler $e$ . Este resultado explica por qué ocurren cosas extrañas alrededor de $2$ como se ha notado, $2^4 = 4^2$ y los dos números $2^3$ y $3^2$ están muy cerca. Pero en general, si $x$ y $y$ están cerca unos de otros pero "lejos" de unos $2.71828\ldots$ entonces puede compararlos directamente para ver si $x^y < y^x$ .
Más detalladamente, la desigualdad $x^y < y^x$ equivale a $y\ln x < x\ln y$ , tomando logaritmos. Y esa desigualdad es equivalente a $(\ln x)/x < (\ln y)/y$ dividiendo por $xy$ . Así que podemos reformular su problema original al problema de determinar si la función $f(t) = (\ln t)/t$ es creciente o decreciente. Puedes demostrar, usando el cálculo, (te daré los detalles si los quieres), que la función $f(t)$ es creciente cuando $t < e$ y disminuyendo cuando $t > e$ .
Toma $\ln(\cdot)$ a ambos lados de la desigualdad $x^y < y^x$ y luego se separan las variables, se obtiene la desigualdad $\ln(x) / x < \ln(y) / y$ . Así que se trata de investigar dónde está la función $f(x)=\ln(x)/x$ es decreciente, lo que tiene una respuesta muy sencilla y satisfactoria utilizando el cálculo.
La función $f(x) = \frac{\log x}x$ tiene un máximo local que también es un máximo global en $x = e$ (considerando $(0, \infty)$ como dominio). Para el cálculo de enteros, debemos considerar $2$ y $3$ ya que son los enteros que rodean a $e$ . Desde $f(2) = f(4)$ Sabemos que $f(3)$ es el máximo cuando el dominio se restringe a enteros positivos. A partir de este conocimiento, sabemos que sólo hay dos casos en los que la desigualdad estricta no se cumple: $2^3 < 3^2$ y $2^4 = 4^2$ .
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