¿Hay algún problema con esta función de densidad de probabilidad?

Question

El problema:

Una determinada empresa de software utiliza un determinado software para comprobar si hay errores en cualquiera de los programas que construye y luego descarta el software si los errores encontrados superan un determinado número. Dado que el número de errores encontrados está representado por una variable aleatoria X cuya función de densidad viene dada por

$$f(x) = \begin{cases}2(x+2)/5 & : 0 < x < 4\\[1ex] 0 & : \text{otherwise}\end{cases}$$

Encuentre el número medio de errores que la empresa espera encontrar en un programa determinado.

Solución:

La variable aleatoria X está dada como una variable aleatoria continua, por lo que su valor esperado se puede encontrar de la siguiente manera ....

Pregunta:

¿Cómo sabemos que X es una variable aleatoria continua? ¿No debería ser más apropiado modelar este problema con una variable aleatoria discreta y utilizar la función de masa de probabilidad en lugar de la función de densidad de probabilidad?

Aunque sea una FDP, la integral sobre el rango no es igual a 1. Si calculamos el valor exceptuado para la variable aleatoria X utilizando la integral, el valor es 14,93. De acuerdo con la PDF, esto no parece un valor esperado correcto ya que la PDF en ese rango es igual a cero.

He encontrado este problema en Internet, y no estoy seguro de que el PDF y la solución sean correctos. ¿Dónde me equivoco?

Enlace con el problema: https://www.wyzant.com/resources/lessons/math/statistics_and_probability/expected_value

Answer 1

A menos que exista un error a medias, creo que tienes razón. La expectativa debería evaluarse con una suma y no con una integral. Pero interpretándolo así me sale $f(1) + f(2) + f(3) = 4.8$ en lugar de $1$ así que supongo que el problema está mal planteado. Tienes razón en que tampoco tiene sentido como PDF continua ya que la integral no es $1$ y $14.93$ está fuera del rango de valores posibles. En general, es posible que una FDP tenga una integral nula en una zona alrededor de la expectativa (considere el centro de una distribución bimodal).