Si $X$ es una variable aleatoria tal que $a<X<b$ ¿es el valor esperado entre esos valores también?

Question

Suponiendo que $a$ y $b$ son valores reales. He visto esto en la página de Wikipedia en español sobre el valor esperado, pero no sé si es cierto, estoy usando las matemáticas de la escuela secundaria.

Answer 1

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria discreta que toma los valores $x_1, \dots, x_n$ con probabilidades $p_1, \dots, p_n$ . Si $X > a$ entonces cada uno de los $x_i$ debe ser mayor que $a$ por lo que el valor esperado de $X$ es $$E[X] = x_1 p_1 + \dots + x_n p_n > a p_1 + \dots + a p_n = a(p_1 + \dots + p_n) = a \cdot 1.$$ El argumento cuando $X < b$ es similar.