Demuestre la fórmula de recursión de Bernoulli utilizando el teorema de Riemann sobre las singularidades extraíbles

Question

Dejemos que $F_0(z) := \frac{z}{e^z-1}$ para $z\in\mathbb{C}\setminus \{2\pi\mathrm{i}\mathbb{Z}\}\bigcup\{0\}$ .

Definir las secuencias de números de Bernoulli $(B_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ en los alrededores de $0$ a través de $$F_0(z) = \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{z^n}{n!}$$

Mostrar $$\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}B_k = 0$$ para $n\gt1$ y $B_0 = 1$ con la ayuda de la relación: $(e^z - 1)F_0 = z$ .

Además, muestra $B_{2k+1} = 0$ para $k\gt0$ .

Ok, puedo ver que $F_0$ no es holomorfo para $z_0\in\{2\pi\mathrm{i}\mathbb{Z}\}\bigcup\{0\}$ . Para eliminar la singularidad aislada en $z_0$ utilizamos el teorema de Riemann, que dice:

Dejemos que $D\subset\mathbb{C}$ sea un subconjunto abierto del plano complejo, $a\in D$ un punto de $D$ y $f$ una función holomorfa definida en el conjunto $D\setminus\{a\}$ . Los siguientes son equivalentes:

1. $f$ es holomórficamente extensible sobre $a$
2. $f$ es continuamente extensible sobre $a$
3. Existe una vecindad de $a$ en el que $f$ está acotado.
4. $\lim \limits_{z \to a}(z-a)f(z)=0$

Así que si uso 4. para nuestro ejemplo sería: $\lim \limits_{z \to 0}(z-0)F_0(z)=\lim \limits_{z \to 0}(z-0)\frac{z}{e^z-1}\overset{!}{=}0$ .

El límite es $0$ porque $(z-0)\xrightarrow{z\rightarrow0}0$ y $\lim \limits_{z \to 0}\frac{z}{e^z-1}$ =1. Acabo de demostrar que se cumple el teorema de Riemann, por lo que sé que existe una función $\widetilde{f}|D\setminus {z_0}=f$ que es holomorfo en el conjunto $D$ .

Pero no me ayuda mucho y no sé el siguiente paso. Es $F_0(z)=\sum_{n=0}^\infty B_n\frac{z^n}{n!}$ nuestro $\widetilde{f}$ ? Se define en $z_0$ . ¿Cómo puedo utilizar $\widetilde{f}$ para resolver este ejercicio?

Answer 1

Primero: $\widetilde{f} = F_0$ (el cociente) en una vecindad perforada de $0$ Así que $\widetilde{f} = F_0$ (la serie) en una zona de $0$ . Para la fórmula: $$z = F_0(z)(e^z - 1) = \left(\sum_{n=0}^\infty B_n\frac{z^n}{n!}\right) \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n!}\right) =$$ $$= \sum_{n=1}^\infty\left(\sum_{k=0}^{n-1}B_k\frac{z^k}{k!}\frac{z^{n -k}}{(n - k)!}\right) = \sum_{n=1}^\infty\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{n!}{k!(n - k)!}B_k\right)\frac{z^n}{n!}.$$ Por último, puede comprobar fácilmente que $$z\longmapsto F_0(z) + \frac{z}2 = \frac{z(e^z + 1)}{2(e^z - 1)}$$ está en paz.