Dejemos que $F_0(z) := \frac{z}{e^z-1}$ para $z\in\mathbb{C}\setminus \{2\pi\mathrm{i}\mathbb{Z}\}\bigcup\{0\}$ .
Definir las secuencias de números de Bernoulli $(B_n)_{n\in\mathbb{N}_0}$ en los alrededores de $0$ a través de $$F_0(z) = \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{z^n}{n!}$$
Mostrar $$\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}B_k = 0$$ para $n\gt1$ y $B_0 = 1$ con la ayuda de la relación: $(e^z - 1)F_0 = z$ .
Además, muestra $B_{2k+1} = 0$ para $k\gt0$ .
Ok, puedo ver que $F_0$ no es holomorfo para $z_0\in\{2\pi\mathrm{i}\mathbb{Z}\}\bigcup\{0\}$ . Para eliminar la singularidad aislada en $z_0$ utilizamos el teorema de Riemann, que dice:
Dejemos que $D\subset\mathbb{C}$ sea un subconjunto abierto del plano complejo, $a\in D$ un punto de $D$ y $f$ una función holomorfa definida en el conjunto $D\setminus\{a\}$ . Los siguientes son equivalentes:
- $f$ es holomórficamente extensible sobre $a$
- $f$ es continuamente extensible sobre $a$
- Existe una vecindad de $a$ en el que $f$ está acotado.
- $\lim \limits_{z \to a}(z-a)f(z)=0$
Así que si uso 4. para nuestro ejemplo sería: $\lim \limits_{z \to 0}(z-0)F_0(z)=\lim \limits_{z \to 0}(z-0)\frac{z}{e^z-1}\overset{!}{=}0$ .
El límite es $0$ porque $(z-0)\xrightarrow{z\rightarrow0}0$ y $\lim \limits_{z \to 0}\frac{z}{e^z-1}$ =1. Acabo de demostrar que se cumple el teorema de Riemann, por lo que sé que existe una función $\widetilde{f}|D\setminus {z_0}=f$ que es holomorfo en el conjunto $D$ .
Pero no me ayuda mucho y no sé el siguiente paso. Es $F_0(z)=\sum_{n=0}^\infty B_n\frac{z^n}{n!}$ nuestro $\widetilde{f}$ ? Se define en $z_0$ . ¿Cómo puedo utilizar $\widetilde{f}$ para resolver este ejercicio?
