Evaluar $\lim\limits_{x \to a} \frac{x^m-a^m} {x-a}$

Question

Cómo evaluar esto:

$$\lim\limits_{x \to a} \frac{x^m-a^m} {x-a} ; m\in \mathbb{N}$$

si tomo:

$ m = 1 $

$$\lim\limits_{x \to a} \frac{x^1-a^1} {x-a} =1 $$ ¿Es esto correcto?

pero cómo evaluar el límite donde $ m = 2 $

$$\lim\limits_{x \to a} \frac{x^2-a^2} {x-a} = ???$$

Answer 1

Una pista: $x^m-a^m=(x-a)\sum_{k=1}^m x^{m-k}a^{k-1}$

Answer 2

así que si tomo $ m = 3 $

$$\lim\limits_{x \to a} \frac{x^3-a^3} {x-a} = \lim\limits_{x \to a} \frac{(x-a)(x^2+ax+a^2)} {x-a}= \lim\limits_{x \to a} (x^2+ax+a^2)= 3a^2 $$

así que si he entendido bien

$$\lim\limits_{x \to a} \frac{x^m-a^m} {x-a} = m \cdot a^{m-1} $$

Answer 3

La sugerencia de Nigel más arriba te da una buena factorización en este caso, y este sería mi método preferido.

En el caso más general, si tanto el numerador como el denominador tienden a 0, recomendaría aplicar la regla de L'Hoptial. Ésta establece que el límite de $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ es igual al límite de $\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ suponiendo, por supuesto, que este límite exista y $g'(x) \neq 0$ si $x \neq c$ .