Axioma 3.1: (Los conjuntos son objetos). Si $A$ es un conjunto, entonces $A$ también es un objeto. En particular, dados dos conjuntos $A$ y $B$ es significativo preguntarse si $A$ también es un elemento de $B$ .
Axioma 3.3 (Conjuntos unicolores y conjuntos pares). Si $a$ es un objeto, entonces existe un conjunto $\{a\}$ cuyo único elemento es $a$ es decir, para cada objeto $y$ tenemos $y \in \{a\}$ si y sólo si $y=a$ nos referimos a $\{a\}$ como el conjunto único cuyo elemento es $a$ . Además, si $a$ y $b$ son objetos, entonces existe un conjunto $\{a , b\}$ cuyos únicos elementos son $a$ y $b$ es decir, para cada objeto $y$ tenemos $y \in \{a, b\}$ si y sólo si $y=a$ o $y=b$ nos referimos a este conjunto como el conjunto de pares formado por $a$ y $b$ .
Axioma 3.4 (Unión por pares). Dados dos conjuntos cualesquiera $A$ , $B$ existe un conjunto $A \cup B$ llamada la unión $A \cup B$ de $A$ y $B$ cuyos elementos están formados por todos los elementos que pertenecen a $A$ o $B$ o ambos. En otras palabras, para cualquier objeto $x$ , $$x \in A \cup B \iff (x \in A \text{or} x \in B).$$
Axioma 3.11 (Unión). Sea $A$ sea un conjunto cuyos elementos sean a su vez conjuntos. Entonces existe un conjunto $\bigcup A$ cuyos elementos son precisamente aquellos objetos que son elementos de los elementos de $A$ por lo que para todos los objetos $x$ $$ x \in \bigcup A \iff (x \in S \text{for some} S \in A).$$
Ejercicio 3.4.8. Demuestre que el axioma 3.4 puede deducirse del axioma 3.1, del axioma 3.3 y del axioma 3.11.
Estoy luchando con este ejercicio en el Análisis 1 de Tao. Mi intento es el siguiente: Sea $C = \{A , B\}$ . Entonces, $x \in \bigcup C \iff x \in A \text{or} B$ por el axioma de la unión, y $\bigcup C$ es un conjunto. Creo que $\bigcup C$ es igual a $A \cup B$ pero no sé cómo completar la prueba. Les agradezco que me ayuden.
