¿Distinguir la distribución normal, la distribución gaussiana y la distribución gaussiana normalizada?

Question

Según he entendido, la "distribución normal" es $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(\frac{-(x-\mu)^2}{2{\sigma}^2}\right)$$ Ahora, según este la "función de densidad de probabilidad normal" es $$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(\frac{-(x-\mu)^2}{2{\sigma}^2}\right)$$ y según este en la parte superior de la página 466 (o 436 si tienes el libro) la "distribución gaussiana normalizada" es $$f(t)=\frac{1}{\tau \sqrt{2\pi}}\exp\left(\frac{-t^2}{2{\tau}^2}\right)$$

En los casos anteriores, $\mu =$ medio, $\sigma =$ desviación estándar y $\tau =\Delta t$

Estoy muy confundido; cada vez que busco respuestas en la web obtengo diferentes palabras y fórmulas, este post está diseñado para tratar de disipar esta confusión.

¿Podría alguien explicar el significa y la diferencia entre las fórmulas dadas anteriormente y la similitud y/o las diferencias entre las frases utilizadas en el título y el cuerpo?

Gracias.

Answer 1

La segunda fórmula es la expresión estándar de la función de densidad de probabilidad (FDP) correspondiente a la distribución normal (o gaussiana) con media $\mu$ y la desviación estándar $\sigma$ . Al ser una FDP, está normalizada a 1, es decir, su integral sobre los valores admisibles de $x$ es $1$ . A la primera fórmula le falta el $1/\sigma$ por lo que no es un PDF. Por último, la tercera fórmula se puede obtener a partir de la segunda con una sustitución directa $\sigma\rightarrow\tau$ , $x\rightarrow t$ y $\mu\rightarrow0$ .

Answer 2

Una distribución gaussiana es lo mismo que una distribución normal. La distribución gaussiana estándar o normal estándar es la distribución gaussiana con $\mu = 0$ , $\sigma = 1$ .

Por cierto, la primera ecuación anterior es incorrecta, ya que su integral sobre los reales es $\sigma$ y no 1. Como la probabilidad del espacio muestral, por definición, tiene que ser 1, cualquier distribución debe integrarse a, bueno, 1.

Se puede normalizar esto dividiéndolo por $\sigma$ (para obtener la segunda ecuación). Nótese que esta normalización no tiene nada que ver con la normal de la distribución normal. El nombre de la distribución viene de que es normal en el sentido de habitual, y el proceso de hacer la probabilidad de $\mathbb{R}$ (o cualquiera que sea su espacio muestral) igual a 1 viene de hacer que se ajuste a la norma, o regla.

Answer 3

El distribución normal , también llamado Distribución gaussiana es la distribución de probabilidad que asigna a cada conjunto medible $A$ de números reales la probabilidad $$ \int_A \frac 1 {\sqrt{2\pi}} \exp\left( \frac{-1} 2 \left( \frac{x-\mu} \sigma \right)^2 \right) \, \frac{dx} \sigma. $$ En particular, existe la función de distribución de la probabilidad acumulada de la distribución normal : $$ x\mapsto \int_{-\infty}^x {\sqrt{2\pi}} \exp\left( \frac{-1} 2 \left( \frac{w-\mu} \sigma \right)^2 \right) \, \frac{dw} \sigma. $$

El función de densidad de probabilidad normal , también llamado Función de densidad de probabilidad gaussiana es $$ x\mapsto \frac 1 {\sqrt{2\pi}} \exp\left( \frac{-1} 2 \left( \frac{x-\mu} \sigma \right)^2 \right) \cdot \frac 1 \sigma. $$ Si tiene problemas para recordar cuál es cuál, recuerde los significados de los términos distribución de probabilidades y función de densidad de probabilidad . Como en toda función de densidad, tanto si se trata de la densidad de probabilidad como de la densidad de masa o de la densidad de energía o de la densidad de población, el valor de la densidad es una cantidad intensiva (densidad) y su integral es una cantidad extensiva (probabilidad o masa o energía o población).

Sospecho que la palabra "normalizado" pretende indicar que tiene una desviación estándar en función de un parámetro. Es decir $\tau$ . Pero eso no tiene nada que ver con la palabra "normal" tal y como se utiliza arriba. La palabra "normal" está algo sobrecargada.

"Gaussiano" también es un término equivocado. Abraham de Moivre identificó la importancia de esta particular distribución de probabilidad en la primera mitad del siglo XVIII, mucho antes de que naciera Carl Gauss (Gauss nació en la década de 1770).