Pregunta sobre la notación. ¿Cómo abordar el caso en el que n = 1 si el patrón comienza en 2?

Question

Para propósitos de inducción, se me da a probar

$1 + 2(2+3+...+n) + (n+1) = (n+1)^2 - 1$ para todos $n$ en números naturales (definidos a partir de 1).

Quiero hacer el caso base de la inducción usando el número natural 1 para $n$ pero no estoy seguro de cómo enfocar la porción $(2+3+...+n)$ cuando $n = 1$ .

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Quizás

$$1 + 2(2+3+\cdots+n) + (n+1) = (n+1)^2 - 1$$

se pretende que sea equivalente a

$$1 + \left(2\sum_{i=2}^ni\right) + (n+1) = (n+1)^2 -1$$

Se puede simplificar aún más, pero por el propiedad de una suma vacía , si $n=1$ entonces $\sum_{i=2}^1i=0$ .