En primer lugar, es confuso que uses $U$ dos veces, así que voy a reemplazar su segundo $U$ con $V$ . Se puede utilizar el lema de Yoneda: los mapas fuera del límite son lo mismo que los mapas fuera de todo $F(U)$ con compatibilidades. Esto es por definición de límite si se quiere. El functor al que me refiero aquí es el functor que toma un objeto $X$ al conjunto de mapas $X \rightarrow F(U)$ para todos $U$ con la compatibilidad con la restricción.
Se quiere construir un isomorfismo natural entre mapas a partir del todo $F(U)$ y mapas de todo $F(U')$ tal que $U' \subset V$ (con compatibilidades). Si tiene mapas de todos los $F(U')$ tal que $U' \subset V$ , entonces para el general $U$ se puede precomponer con los mapas de restricción $F(U) \rightarrow F(U')$ para todos $U$ . Compruebe que se trata de una transf. natural bien definida en el sentido de que todos los mapas de restricción son compatibles (ejercicio). A continuación, demuestre que esta transformación natural es un isomorfismo natural: la inyectabilidad es obvia y la subjetividad se debe a cada $U$ que tiene una sub-abertura contenida en $V$ .
Los detalles probablemente deberías convencerte por ti mismo, creo que lo importante aquí es que el lema de Yoneda hace que la prueba sea mucho más limpia. (Estoy usando la versión en la que, para demostrar que dos objetos $X$ , $Y$ son isomorfos es lo mismo que demostrar que los funtores $Hom(-, X)$ y $Hom(-, Y)$ son naturalmente isomorfas.
