Secuencia de funciones en las topologías de caja y producto.

Question

Todas las topologías mencionadas están en el producto cartesiano $\mathbb{R}^{[0,1]}$.

La secuencia de funciones $(f_k)$, para la cual, $f_k(x) = x^k, x\in [0,1]$, converge puntualmente pero no uniformemente a $f(x)=\ \begin{cases} 0 & x\in [0,1), \\ 1&x=1\\ \end{cases}$

Por lo tanto, dado que una secuencia de funciones $(f_k)$ converge puntualmente a $f$ si y solo si $(f_k)$ converge a $f$ en la topología del producto, tenemos que $f_k \rightarrow f$ en la topología del producto. ¿Por qué $f$ no puede converger en la topología de la caja? ¿Es necesario demostrar eso cada vez usando el hecho de que la secuencia de funciones no converge uniformemente o eso se sigue del hecho de que la topología de la caja es más fina que la topología uniforme?

Answer 1

Deja que $$U=\left\{g\in\Bbb R^{[0,1]}:\forall n\ge 2\left(\left|g\left(\frac1n\right)\right|<\frac1{n^n}\right)\right\}\;$$

$U$ es abierto en la topología de casilla en $\Bbb R^{[0,1]}$, y $f\in U$, pero para $k\ge 2$ tenemos $f_k\left(\frac1k\right)=\frac1{k^k}$, por lo que $f_k\notin U$. Por lo tanto, $\langle f_k:k\in\Bbb Z^+\rangle\not\to f$ en la topología de casilla.

Más generalmente, no hay secuencias convergentes no triviales en la topología de casilla en $\Bbb R^{[0,1]}$. (No triviales aquí significa no eventualmente constantes.) Basta con mostrar que no hay una secuencia no trivial que converge a la función cero, la cual llamaré $z$. Sea $\langle f_n:n\in\Bbb N\rangle$ cualquier secuencia en $\Bbb R^{[0,1]}$ tal que $A=\{n\in\Bbb N:f_n\ne z\}$ sea infinito. Para $n\in A$ deja $\epsilon_n=|f_n(2^{-n})|$, y deja

$$U=\left\{g\in\Bbb R^{[0,1]}:\forall n\in A\Big(\left|g\left(2^{-n}\right)\right|<\epsilon_n\Big)\right\}\;;$$

entonces $U$ es un entorno abierto de $z$, y $f_n\notin U$ para cada $n\in A$. Para cada $m\in\Bbb N$ hay un $n\ge m$ tal que $n\in A$ y por lo tanto $f_n\notin U$, así que $U$ demuestra el hecho de que $\langle f_n:n\in\Bbb N\rangle\not\to z$.