¿Cómo probar si una extensión finita contiene algún cero de un polinomio irreducible?

Question

Así que específicamente, si $E/F$ es una extensión finita de grado $n$ y $f\in F[x]$ si un irreducible de grado que divide $n$ entonces, ¿es siempre cierto que todos los ceros de $f$ cae en $E$ ?
Si $E=GF(q^n)$ es finito, entonces $F(a)=GF(q)(a)\cong GF(q^k), k|n, f(a)=0$ pero como implica que $F(a)\subseteq E$ ? Es decir, sólo porque es isomorfo a un subcampo de $E$ no significa que sea un subcampo de $E$ ¿No es así?

Answer 1

En la teoría de campos, o más generalmente en el álgebra abstracta, nos interesan las estructuras algebraicas hasta el isomorfismo . Así que sí, técnicamente $F(a)$ puede no ser exactamente un subcampo de $E$ pero es isomofico a un subcampo de $E$ por lo que decimos que $F(a) \subseteq E$ . Sólo la estructura del campo es interesante en ese caso.

Su pregunta es verdadera para el campo finito, ya que sólo hay un campo de orden $q^n$ hasta el isomorfismo y $\mathbb{F}_{q^k} \subseteq \mathbb{F}_{q^n}$ si y sólo si $k \mid n$ . En su ejemplo, si $f$ es irreducible de grado $k$ todos los ceros de $f$ se encuentra en $\mathbb{F}_{q^k} \subseteq \mathbb{F}_{q^n}$ .

En general, esto es completamente falso. Por ejemplo $[\mathbb{Q}[i] \ : \ \mathbb{Q}]=2$ y $f(x)=x^2-2$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ pero $\mathbb{Q}[i]$ no contiene raíces de $f$ . El verdadero problema aquí es que hay infinitas extensiones de campo de grado $n$ mientras que sólo hay un grado $n$ extensión de $\mathbb{F}_q$ .

Answer 2

No me quedó claro en la pregunta que el principal interés de nuestro OP Taylor Huang estuviera en los campos finitos, así que preparé este contraejemplo:

No creo que esto sea cierto en general:

Toma $F = \Bbb Q$ y $E = \Bbb Q(\sqrt[3] 2)$ Entonces

$[E:F] = [\Bbb Q(\sqrt[3]2): \Bbb Q] =3; \tag 1$

ahora toma

$f(x) = x^3 - 2 \in \Bbb Q[x]; \tag 2$

entonces $f(x)$ es irreducible sobre $\Bbb Q$ , $\deg f(x) \mid [E:F]$ pero $f(x)$ tiene precisamente un cero en $E = \Bbb Q(\sqrt[3] 2)$ .