¿Cómo encontrar una expresión para un número mediante un conjunto dado de operadores matemáticos y constantes?

Question

Considere que uno le da $n$ dígitos de un número (posiblemente irracional) y un conjunto finito de operadores y constantes matemáticas, como $\{\sin(x), \ln(x),+,\times, \pi,e,7\}$ . Luego te pide que construyas una expresión matemática sólo con estos operadores y constantes que su $n$ los primeros dígitos son exactamente los que se le dan. Por ejemplo:

Para el número $6.5892187094970913045\,$ con $20$ dígitos, la expresión $7+\sin(e+\pi)$ es una solución porque el primer $20$ dígitos de su valor son exactamente los que se dan, pero también puede haber otras soluciones.

¿Existe algún algoritmo o software eficaz para resolver este tipo de problemas al menos en casos muy sencillos? Si la respuesta es afirmativa, introduzca sus referencias. ¿Cuándo existe un único expresión para un número dado hasta un conjunto fijo de operadores y constantes? ¿Qué tipo de condiciones necesarias y suficientes son necesarias para demostrar dicha unicidad?

Answer 1

Bueno, para casos muy simples la fuerza bruta podría funcionar, ya que "simple" implica un límite de complejidad. Convierta su conjunto de constantes y operadores en una gramática libre de contexto, genere términos y evalúe los términos para ver si satisfacen su condición de igualdad; abandone cuando llegue al límite de complejidad. Una referencia:

Generación de todas las palabras de un idioma a partir de la CFG

Mostrar la singularidad va a ser más difícil. He aquí un ejemplo algo artificial. Imagina una teoría que no contiene axiomas que afirmen la igualdad de dos términos. Ahora piensa en el Universo Herbrand: no hay dos términos que puedan ser iguales, así que una vez que el algoritmo encuentra una solución, se garantiza que es única. No puedo pensar en una prueba ahora mismo, pero sospecho que la condición de unicidad va a estar estrechamente ligada a las particularidades de la teoría considerada.