algunos problemas relacionados con los primos

Question

Me gustaría aprender lo siguiente:

a) Demuestre que la ecuación $1 + x + x^2 = py$ tiene soluciones enteras para un número infinito de primos $p$ .

b) Los primos gemelos son los que se diferencian por 2. Demuestre que 5 es el único primo que pertenece a dos pares de este tipo. Demuestre también que existe una correspondencia uno a uno entre los primos gemelos y los enteros positivos n tal que $d(n^2-1) = 4$ , donde como en el caso anterior $d(k)$ representa el número de divisores de $k$ .

Answer 1

a) La prueba es una modificación de la prueba de "Euclides" de que hay infinitos primos. Sea $p_1=3$ . Poniendo $x=1$ y $y=1$ vemos que $1+x+x^2=py$ tiene una solución.

Ahora supongamos que hemos encontrado $n$ primos $p_1,p_2,\dots,p_n$ tal que $1+x+x^2=p_iy$ tiene una solución para cualquier $i$ de $1$ a $n$ . Exponemos un nuevo primo $p_{n+1}$ tal que $1+x+x^2=p_{n+1}y$ tiene una solución.

Considere el número $1+(p_1p_2\cdots p_n)+(p_1p_2\cdots p_n)^2$ . Se trata de un número entero $\gt 1$ por lo que tiene un divisor primo $p_{n+1}$ . Cualquier $p_{n+1}$ debe ser distinta de $p_1,p_2,\dots,p_n$ . Esto se debe a que si $p_{n+1}=p_i$ , donde $1\le i\le n$ entonces $p_i$ divide $(p_1p_2\cdots p_n)+(p_1p_2\cdots p_n)^2$ por lo que no puede dividir $1+ (p_1p_2\cdots p_n)+(p_1p_2\cdots p_n)^2$ .

Así hemos encontrado un nuevo primo $p_{n+1}$ tal que $1+x+x^2=p_{n+1}y$ tiene una solución.

b) El número $5$ pertenece a los pares $(3,5)$ y $(5,7)$ . Está claro que $2$ no pertenece a ningún par, y $3$ sólo pertenece a $1$ par. Demostramos que cualquier primo $p\ge 7$ no puede pertenecer a más de un par. Supongamos por el contrario que $p$ lo hace. Entonces $p-2$ , $p$ y $p+2$ son primos. Nótese que si $x$ es un número entero cualquiera, entonces uno de $x-2$ , $x$ o $x+2$ es divisible por $3$ . Un número divisible por $3$ y mayor que $3$ no puede ser primo.

Para la segunda parte de la pregunta, nos preguntamos cuándo $d(n^2-1)=4$ . Si $n$ es par, entonces $n-1$ y $n+1$ son relativamente primos, por lo que $d((n-1)(n+1))=d(n-1)d(n+1)$ . Pero $1$ es el único $k$ tal que $d(k)=1$ . Así que debemos tener $d(n-1)=d(n+1)=2$ . Eso obliga a la pareja $(n-1,n+1)$ para ser un par de primos gemelos.

Ahora examina el caso $n$ impar. Entonces $(n-1)(n+1)$ es divisible por $8$ , por lo que tiene los divisores $1$ , $2$ , $4$ y $8$ . Desde $d(n^2-1)=4$ no puede tener otros. Así, $n^2-1=8$ , dando $n=3$ .

Así que el conjunto $A$ de los números $n-1$ tal que $d(n^2-1)=4$ consiste en $2$ más los primos menores en un par de primos gemelos. Este conjunto puede ponerse fácilmente en correspondencia uno a uno con el conjunto $B$ de primos menores en pares de primos gemelos. Basta con enumerar los dos conjuntos como $a_1,a_2,\dots$ y $b_1,b_2,\dots$ y el mapa $a_i$ a $b_i$ .

Pero la parte de la correspondencia uno a uno tiene absolutamente nada que hacer con los primos gemelos. Para cualquier dos conjuntos infinitos de números naturales pueden ponerse en correspondencia uno a uno. Así que para demostrar que hay una correspondencia uno a uno, no necesitamos haber hecho cualquier análisis de la $n$ tal que $d(n^2-1)=4$ .