Digamos que tenemos dos funciones $h(s)$ y $g(s)$ . Podemos simular fácilmente una integral estocástica, por ejemplo $$t \mapsto \int_0^t h(s) dB(s) \sim \mathcal{N}\bigg(0, \int_0^t h(s)^2 ds \bigg). $$ ¿Cuál es la distribución condicional de la integral estocástica de $g(s)$ con respecto a $B(s)$ ¿entonces? $$ t \mapsto \int_0^t g(s) dB(s) \bigg | \int_0^t h(s) dB(s) \sim ?$$ Tengo la intuición de que estas dos integrales podrían tener una distribución normal conjunta con una covarianza igual a $\int_0^t h(s)g(s)ds$ pero necesito una derivación rigurosa. En general, quiero encontrar una manera de simular un montón de $n$ integrales con respecto al mismo movimiento browniano: $$ t \mapsto \bigg( \int_0^t h_1(s) dB(s), \int_0^t h_2(s) dB(s) , \dots , \int_0^t h_n(s) dB(s) \bigg)^T $$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La distribución normal conjunta se deduce de la forma en que se define la integral estocástica. Sin embargo, si ya está convencido de que \begin {Ecuación} I_t(h):= \int_0 ^t h(s) dB(s) \sim N \bigg (0, \int_0 ^t h(s)^2 ds \bigg ) \end {Ecuación} para todos $h\in L^2([0,t])$ Entonces, usted tiene \begin {Ecuación} \sum_1 ^n r_i I_t(g_i)=I_t \Big ( \sum_1 ^n r_i g_i \Big ) \sim N \bigg (0, \int_0 ^t \Big ( \sum_1 ^n r_i g_i(s) \Big )^2 ds \bigg ) \tag {*} \end {Ecuación} para todos los reales $r_i$ y todas las funciones $g_i\in L^2([0,t])$ . Así, todas las combinaciones lineales de los $I_t(g_i)$ son gaussianos y, por tanto, el $I_t(g_i)$ son conjuntamente gaussianos (piénsese, por ejemplo, en la función característica conjunta). Fórmula (*) para $n=1,2$ también da las covarianzas: \begin {align*} Var(I_t(g_1)+I_t(g_2))&= \int_0 ^t (g_1(s)+g_2(s))^2 ds \\ &= \int_0 ^t g_1(s)^2 ds+ \int_0 ^t g_2(s)^2 ds +2 \int_0 ^t g_1(s)g_2(s)\N-, ds \\ &=Var(I_t(g_1))+Var(I_t(g_2))+2 \int_0 ^t g_1(s)g_2(s)\N-, ds, \end {align*} para que $Cov(I_t(g_1),I_t(g_2))=\int_0^t g_1(s)g_2(s)\,ds$ .
Añadido en respuesta a un comentario de Dr_Zaszuś: Así, para cualquier $g,h$ en $L^2([0,t])$ , la pareja $(I_t(g),I_t(h))$ tiene la distribución normal bivariada $N(\mu_g,\mu_h,\sigma^2_g,\sigma^2_g,\rho)$ , donde $\mu_g=\mu_h=0$ , $\sigma_g=\|g\|$ , $\sigma_h=\|h\|$ y $\rho=\frac{g\cdot h}{\|g\|\|h\|}$ , donde $g\cdot h:=\int_0^t g(s)h(s)\,ds$ y $\|f\|:=\sqrt{f\cdot f}$ . Así, la distribución condicional de $I_t(g)$ dado $I_t(h)=y$ es la distribución normal $N(\mu_{g;y},(1-\rho^2)\sigma_g^2)$ para cualquier $y$ , donde $\mu_{g;y}:=\rho\sigma_g y/\sigma_h$ .
