$5$ torres en un $5\times 5$ tablero de ajedrez

Question

$5$ Las torres se colocan en un $5$ por $5$ tablero de ajedrez de tal manera que no haya dos torres que se ataquen entre sí. ¿Cómo puedo demostrar que existe un $2$ por $2$ ¿una casilla del tablero que no contenga ninguna de las torres?

(Se define que una torre ataca a otra torre si están en la misma fila o columna).

Me he dado cuenta de que un $5$ por $5$ tablero de ajedrez puede contener cuatro $2$ por $2$ cuadrados, pero eso no prueba nada.

Answer 1

Una de las torres debe estar en la fila inferior, por ejemplo

+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+
|  |  |R |  |  |
+--+--+--+--+--+

Concéntrese en la columna en la que se encuentra esta torre y en una de las columnas vecinas. Si la torre vecina está en la fila superior o próxima a la superior, hay un $2 \times 2$ cuadrado vacío en la segunda y tercera fila, como en el caso siguiente:

+--+--+--+--+--+
|  |  |  |R |  |
+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  |  |
+--+--+==+==+--+
|  |  :  |  :  |
+--+--+--+--+--+
|  |  :  |  :  |
+--+--+==+==+--+
|  |  |R |  |  |
+--+--+--+--+--+

Si no, la torre vecina está en la segunda o tercera fila y hay un $2 \times 2$ cuadrado en la cuarta y quinta filas, como el siguiente caso:

+--+--+==+==+--+
|  |  :  |  :  |
+--+--+--+--+--+
|  |  :  |  :  |
+--+--+==+==+--+
|  |  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+
|  |  |  |R |  |
+--+--+--+--+--+
|  |  |R |  |  |
+--+--+--+--+--+

Answer 2

Hay 16 casillas de 2x2 en un tablero de ajedrez de 5x5. Una sola torre colocada en la esquina se asienta exactamente en 1 casilla de 2x2. Una torre en el borde del tablero (no en una esquina) se asienta exactamente en 2 casillas de 2x2. Una torre en el centro del tablero se sitúa en 4 casillas de 2x2. Está garantizado que tienes torres en el borde superior, el borde inferior, el borde izquierdo y el borde derecho (posiblemente la misma torre en varios bordes si está en la esquina). Si maximizamos, podemos conseguir 3 torres en el centro del tablero, pero entonces necesitamos torres en las esquinas. Si 3 torres están en el centro del tablero y dos en las esquinas, cubrimos $3\cdot 4 + 2\cdot 1 = 14$ Cuadros de 2x2. Si hay dos en el centro del tablero y evitamos las esquinas, cubrimos $2\cdot 4 + 3\cdot 2 = 14$ cuadrados de 2x2. Y si tenemos menos de dos en el centro o empezamos a permitir que las torres estén en la esquina, tendremos menos casillas de 2x2 cubiertas. Así que, por el Principio del Casillero, al menos 1 casilla de 2x2 quedará sin cubrir.

Answer 3

Que los cuadrados estén en una cuadrícula $(1,1)$ inferior izquierda a $(5,5)$ arriba a la derecha. Intentemos colocar la primera torre en $(1,1)$ y tratar de colocar tres torres lo más cerca posible para evitar un $2$ x $2$ espacio vacío. Podemos tener una torre en $(1,1)$ , $(3,2)$ , $(2,3)$ . Esto dejará dos espacios cuadrados abiertos de $(4,1)$ a $(5,2)$ y de $(1,4)$ a $(2,5)$ .