No se sabe si $\pi$ y $\sqrt{2}$ son normales en base 10. Pero, ¿todos los números irracionales son normales en al menos una base?
Respuesta
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La respuesta es NO.
Números irracionales absolutamente anormales (es decir, que no son normales en todas las bases $b \ge 2$ ) sí existen.
Una búsqueda en la web devuelve esto papel por Greg Martin.
Para construir un ejemplo, se define primero una secuencia de enteros
$$d_2 = 2^2,\; d_3 = 3^2,\; d_4 = 4^3,\; d_5 = 5^{16},\; d_6 = 6^{30517578125},\; \ldots$$
con la regla recursiva:
$$d_j = j^{d_{j-1}/(j-1)} \quad\text{ for } j \ge 3.$$
Se define entonces otra secuencia de números racionales
$$\alpha_k = \prod_{j=2}^k \left( 1 - \frac{1}{d_j}\right)$$
y el límite
$$\alpha = \lim_{k\to\infty} \alpha_k \approx 0.6562499999956991 \underbrace{99999\ldots99999}_{23747291559\;\text{9s}} 8528404201690728\ldots$$
será un ejemplo para un número irracional anormal. De hecho, por construcción, este número es un Número de Liouville y, por tanto, trascendental.
A pesar de su horrible aspecto, la idea básica de esta construcción no es tan complicada.
Para cualquier base $b \ge 2$ , supimos construir un irracional que no es normal para esa base. Por ejemplo, para la base $10$ el número de Liouville definido por
$$\beta = \sum_{n=1}^\infty 10^{-n!} \approx 0.11000100000000000000000100\ldots$$
no es normal. Es fácil comprobar $\beta$ es no normal en base $10$ porque cada aproximación racional sucesiva de $\beta$ , $\sum_{n=1}^k 10^{-n!}$ son $10$ -fracciones adicas. El problema es que no podemos descartar la posibilidad de que este número $\beta$ es normal en alguna otra base. Para abordar esta cuestión, el documento construye el número de Liouville $\alpha$ anterior como uno cuyas aproximaciones racionales sucesivas son $b$ -fracciones adicas con $b$ ¡variando!
Para más detalles sobre cómo se hace esto y una prueba rigurosa de que $\alpha$ es absolutamente anormal, consulte el documento mencionado anteriormente.
