Evaluar $\int_C\frac{z+1}{z^2-2z}dz$ , donde $C$ es el círculo $|z|=3$

Question

Evaluar la integral de contorno $\int_C\frac{z+1}{z^2-2z}dz$ utilizando el teorema del residuo de Cauchy, donde $C$ es el círculo $|z|=3$ .

Veo que la función tiene 2 singularidades, en 0 y 2, por lo que necesito encontrar el residuo de cada una. Examinando la serie de Laurent, tengo lo siguiente:

$$f(z)=\left(\frac{z+1}{z}\right)\left(\frac{1}{z-2}\right)=\left(\frac{z+1}{z^2}\right)\left(\frac{1}{1-2/z}\right)=\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}\right)\left(\frac{1}{1-2/z}\right)$$ y por lo tanto $$f(z)=\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}\right)\left(1-\frac{2}{z}+\frac{4}{z^2}-\frac{8}{z^3}+\cdots\right)=\frac{1}{z}-\frac{1}{z^2}+\frac{2}{z^3}-\frac{4}{z^4}+\cdots$$ por lo que el residuo en 0 es 1.

De la misma manera, $$f(z)=\left(\frac{z+1}{2(z-2)}\right)\left(\frac{1}{1+(z-2)/2}\right)=\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2(z-2)}\right)\left(\frac{1}{1+(z-2)/2}\right)$$ y así $$f(z)=\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2(z-2)}\right)\left(1-\frac{z-2}{2}+\frac{(z-2)^2}{4}-\frac{(z-2)^3}{8}+\cdots\right)$$ Así, $$f(z)=\frac{3}{2(z-2)}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}(z-2)-\frac{1}{16}(z-2)^2+\cdots$$ y así el residuo en 2 es $\frac{3}{2}$ .

Así que creo que $\int_Cf(z)dz=2\pi i(1+\frac{3}{2})= 5\pi i$ pero eso no es lo que el libro me dice - el libro dice que la respuesta debe ser $2\pi i$ . ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Todo tu planteamiento está bien, y tu método de encontrar la serie de Laurent mediante la factorización de una serie geométrica es inteligente. Sólo has cometido un error al equiparar

$$\frac{1}{1-\frac{2}{z}} = 1-\frac{2}{z}+\frac{4}{z^2}-\frac{8}{z^3}+\cdots$$

La serie de la derecha es en realidad una expansión de $\frac{1}{1+\frac{2}{z}}$ y es la expansión en $z = \infty$ mientras que usted necesita la expansión en $z = 0$ .

Así que lo que deberías tener es: $$\frac{1}{1-\frac{2}{z}} = - \frac{z}{2} - \frac{z^2}{4} - \ldots - \frac{z^n}{2^n} + \ldots$$

Entonces obtendrá la expansión de la serie Laurent en $z = 0$ , $$\frac{z+1}{z^2 - 2z} = -\frac{1}{2z} - \frac{3}{4} - \frac{3 z}{8} - \frac{3 z^2}{16} - \ldots - \frac{3z^n}{2^{n+2}} - \ldots$$ y el residuo que encuentres de esta manera es correcto.

Answer 2

Se puede calcular la descomposición parcial de la fracción para evitar el cálculo de la serie de Laurent: $$\int_C\frac{z+1}{z^2-2z}dz=\frac32\int_C\frac{1}{z-2}dz-\frac12\int_C\frac{1}{z}dz$$ Entonces aplicamos la fórmula de Cauchy : $$\int_C\frac{1}{z-2}dz=2\pi i=\int_C\frac{1}{z}dz$$ O con el teorema del residuo de Cauchy, $\frac{1}{z-2}$ es holomorfo dentro de $C$ excepto en $z=2$ , por lo que su serie Laurent alrededor de $2$ es $\frac{1}{z-2}+\sum_{i=0}^\infty0z^i=\frac{1}{z-2}$ . Así que el residuo de $f$ alrededor de $2$ es $1$ Así que $\int_C\frac{1}{z-2}dz=2\pi i$ . Puedes hacer lo mismo con otros integrales.

Así que..: $$\int_C\frac{z+1}{z^2-2z}dz=2\pi i$$

Answer 3

Puede hacerlo sin calcular ningún residuo. Para cualquier $R>2,$ El teorema de Cauchy muestra que su integral es igual a

$$\int_{|z|=R} \frac{z+1}{z^2-2z}\, dz = \int_0^{2\pi} \frac{(Re^{it} + 1)iRe^{it}}{R^2e^{2it} - 2Re^{it}}\, dt.$$

Haz un poco de trabajo para ver esto igual

$$\tag 1 i\int_0^{2\pi} \frac{1 + e^{-it}/R}{1 - 2e^{-it}/R}\, dt.$$

Recuerde que esto se mantiene igual para cualquier $R>2.$ Las integradas en $(1)$ $\to 1$ uniformemente en $[0,2\pi]$ como $R\to \infty.$ Por lo tanto, $(1)\to i\cdot 2\pi = 2\pi i$ como $R\to \infty.$ De ello se desprende que $2\pi i$ es el valor de su integral.