Pregunta de verdadero/falso sobre un mapa bilineal

Question

Dejemos que $A=\begin{bmatrix}1&2\\ 4&3 \end{bmatrix}$ . Dejemos que $\phi:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ sea el mapa bilineal definido por $\phi(v,w)=v^{T}Aw$ , entonces elija la afirmación correcta

Mi respuesta : la opción 1) será verdadera tomando $B =\begin{pmatrix}1&0\\0&\!-1\end{pmatrix}$ . De hecho: $$\phi(v,v)=(v_1\;v_2)\begin{pmatrix}1&0\\0&\!-1\end{pmatrix}\binom{v_1}{v_2}=(v_1\;-v_2)\binom{v_1}{v_2}=v_1^2-v_2^2\implies v_1=\pm v_2$$

Estoy confundido con la opción $2)$ . Cualquier pista/solución será apreciada. Gracias.

Answer 1

Dejemos que $\Bbb F$ sea cualquier campo con $\text{char}(\Bbb F) \ne 2$ y que

$A \in M_n(\Bbb F) \tag 1$

sea cualquier $n \times n$ con entradas elegidas entre $\Bbb F$ definir el $\Bbb F$ -forma bilineal

$\phi_A: \Bbb F^n \times \Bbb F^n \to \Bbb F; \; \phi_A(x, y) = x^T A y \in \Bbb F, \; x, y \in \Bbb F^n; \tag 2$

como es sabido, podemos definir las matrices

$A_\sigma = \dfrac{1}{2}(A + A^T), \tag 3$

$A_\alpha = \dfrac{1}{2}(A - A^T); \tag 4$

tenemos

$A_\sigma^T = \dfrac{1}{2}(A + A^T)^T = \dfrac{1}{2}(A^T + (A^T)^T) = \dfrac{1}{2}(A + A^T) = A_\sigma, \tag 5$

$A_\alpha^T = \dfrac{1}{2}(A - A^T)^T = \dfrac{1}{2}(A^T - (A^T)^T) = \dfrac{1}{2}(A^T - A) = -\dfrac{1}{2}(A - A^T) = -A_\alpha; \tag 6$

también,

$A = \dfrac{1}{2}(A + A^T) + \dfrac{1}{2}(A - A^T) = A_\sigma + A_\alpha; \tag 7$

$A_\sigma$ y $A_\alpha$ son, respectivamente, el $\sigma$ ymmetric y $\alpha$ ntisimétricas de $A$ Por lo tanto, se deduce que

$\phi_A(x, y) = x^TAy = x^T(A_\sigma + A_\alpha)y = x^T(A_\sigma y + A_\alpha y) = x^TA_\sigma y + x^T A_\alpha y; \tag 8$

tomando $y = x$ tenemos

$\phi_A(x, x) = x^T A_\sigma x + x^T A_\alpha x; \tag 9$

ahora,

$x^T A_\alpha x \in \Bbb F, \tag{10}$ ,

y por lo tanto

$x^T A_\alpha x = (x^T A_\alpha x)^T = x^T A_\alpha^T (x^T)^T = x^T(-A_\alpha) x = -x^T A_\alpha x, \tag{11}$

de donde

$2x^T A_\alpha x = 0; \tag{12}$

desde $\text{char}(\Bbb F) \ne 2$ vemos que

$x^T A_\alpha x = 0; \tag{13}$

se deduce entonces de (9) que

$\phi_A(x, x) = x^T A_\sigma x; \tag{14}$

vemos que $\phi(x, x)$ se determina únicamente por el $\sigma$ parte ymmétrica de $A$ .

Tomando $\Bbb F = \Bbb R$ y

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}, \tag{15}$

vemos que con

$B = A_\sigma = \dfrac{1}{2} (A + A^T) = \dfrac{1}{2} \left ( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \right ) = \dfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} = B^T, \tag{16}$

que

$\phi(x, x) = x^TBx, \tag{17}$

y por lo tanto esa declaración (1) es correcto.

Declaración (2) es falso, ya que

$\psi \left ( \begin{bmatrix} \beta v_1 \\ \beta v_2 \\ \beta w_1 \\ \beta w_2 \end{bmatrix} \right ) = \phi \left ( \begin{bmatrix} \beta v_1 \\ \beta v_2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \beta w_1 \\ \beta w_2 \end{bmatrix} \right ) = \beta^2 \phi \left ( \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix} \right ) = \beta^2 \psi \left ( \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ w_1 \\ \ w_2 \end{bmatrix} \right ), \tag{18}$

así que $\psi$ no puede ser lineal.

Por último, en respuesta a un comentario hecho por nuestro OP Messi fifa, no estoy seguro de cómo la matriz

$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \tag{19}$

se relaciona con el problema en cuestión; $\phi_A(x, x) = x^TBx$ sólo es válida para ciertos $B$ Por ejemplo $B = A_\sigma$ Por ejemplo, está claro que con $x = (1, 1)^T$ que $x^TBx = 0 \ne x^TAx = 10$ .