Prueba en el análisis

Question

Supongamos que existe un conjunto $A := \{a \in \mathbb{R} \ s.t.\ a < \epsilon, \forall \epsilon \in \mathbb{Q}^{+}\}$ .

¿Cómo podemos demostrar que $a \leq 0$ ?

Actualmente, estoy tratando de demostrar por contradicción. Empiezo asumiendo que $a \gt 0$ . Mi objetivo es llegar a una afirmación que contradiga el Axioma de Completitud. Pero actualmente estoy atascado.

Gracias por sus respuestas de antemano.

Answer 1

Si $a > 0$ es real, entonces existe un número racional positivo menor que $a$ (por ejemplo, por la densidad de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$ ).

Answer 2

Supongamos que $a>0$ y luego mira $\frac 1a$ . por la propiedad arquimediana de los reales, podemos elegir algún número entero $n>\frac 1a$ . Pero entonces $$0<\frac 1n<a$$

Si quiere utilizar el axioma de completitud directamente, suponga que no hay ningún número entero mayor que $\frac 1a$ . De ello se desprende que la secuencia de números naturales está acotada por encima, por lo que tendría un límite superior mínimo $K$ . Pero entonces $K-1$ no es un límite superior por lo que hay un número entero $m>K-1$ De ahí que $m+1>K$ una contradicción.