El lado del hexágono sigue al uniforme(10,14)

Question

Así que estoy haciendo este problema de la clase de Estadística.

Dejemos que $S$ sea el lado de un hexágono regular. $$S \sim \text{Uniform}(10,14)$$

Tengo que calcular la media y el pdf del Área.

Lo he buscado, y el área de un hexágono regular de lado $S$ viene dada por $$A=\frac{3\sqrt3}{2}s^2$$

Por lo tanto me piden que calcule el pdf y la media de A.

Así que $$S = +\sqrt{\frac{2}{3\sqrt{3}}A}$$

El pdf de $S$ viene dada por $$f_S(x) = \frac{1}{14-10} = 0.25 $$

El pdf de A vendría dado por

$$f_A(y) = f_S(S) \ \cdot |S'| =0.25 \cdot \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{6\sqrt{y\sqrt{3}}}$$

Entonces la media viene dada por:

$$\int_{150\sqrt{2}}^{294 \sqrt{3}} y f_A(y) = 434.3576510$$ .

Pero he hecho una simulación con RStudio, y el valor que obtengo es de alrededor de $378.4282$

Answer 1

$$f_A(a) = f_S(g^{-1}(a)) \left|\frac{dg^{-1}}{da}\right|$$ con $a = g(s) = c s^2$ donde $c = 3 \sqrt{3}/2$ . Así, $$f_A(a) = \frac{f_S(\sqrt{a/c})}{2\sqrt{ca}},$$ y como $$f_S(s) = \frac{1}{4} \mathbb 1 (10 \le s \le 14),$$ el PDF deseado de $A$ es $$f_A(a) = \frac{1}{8 \sqrt{ca}} \mathbb 1 (100c \le a \le 196c) = \frac{\mathbb 1 (150 \sqrt{3} \le c \le 294 \sqrt{3})}{4 \cdot 2^{1/2} \cdot 3^{3/4} a^{1/2}}.$$ La media es $$\operatorname{E}[A] = 218 \sqrt{3}.$$ Su error fue utilizar el límite inferior $150\sqrt{2}$ en lugar de $150\sqrt{3}$ .

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Como alternativa, podría haber calculado la media anotando $$\operatorname{E}[A] = \operatorname{E}[c S^2] = c \operatorname{E}[S^2] = c \left(\operatorname{Var}[S] + \operatorname{E}[S]^2\right),$$ y recordando que la media y la varianza de una distribución uniforme son $$\operatorname{E}[S] = \frac{a+b}{2} = 12, \quad \operatorname{Var}[S] = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{4}{3}.$$