Cómo mostrar cada campo es un dominio euclidiano.

Question

Tengo problemas para probar esto. Esto es lo que tengo hasta ahora:

Deje que $F$ sea un campo.
Deje que $v(x) \rightarrow 1$ para todos los $x$ no sea igual a $0$.

Así que si dejamos que $x$ esté en $F$ donde $x$ no cero entonces podemos escribir $x$ como: $x=qy+r$ para algún $y$ en $F$. Si $r$ no es cero entonces $V(r)=1$.

No estoy seguro de qué hacer desde aquí. Sé que eventualmente se supone que no debo obtener ningún resto $(r=0)$, pero estoy atascado en la aplicación del mapa de definición y valoración.

Answer 1

Probablemente lo estés pensando demasiado. Deje que $q = x \cdot y^{-1}$, que siempre existe, porque $F$ es un campo y $y \ne 0$. Así que deja que $r$ sea cero, y no tienes que preocuparte en absoluto por la valoración.