Distribución Bernoulli simétrica a partir de la distribución Bernoulli no simétrica

Question

Tengo una pregunta que puede parecer trivial pero que me ha frustrado. Tengo una distribución Bernoulli

$$x=\begin{cases}1 &\text{with probability}\quad P(x=1)=\mu \\ 0 &\text{with probability}\quad P(x=0)=1-\mu\end{cases}=\mu^x(1-\mu)^{1-x}$$

Ahora estoy tratando de encontrar la transformación $y=f(x)$ que me da la siguiente distribución

$$y=\begin{cases}1 &\text{with probability}\quad P(y=1)=\frac{1+\mu}{2} \\ -1 &\text{with probability}\quad P(y=-1)=\frac{1-\mu}{2}\end{cases}=\left(\frac{1+\mu}{2} \right)^{\frac{1+y}{2}}\left(\frac{1-\mu}{2} \right)^{\frac{1-y}{2}}$$

No encuentro la transformación que me da la nueva distribución. ¿Es necesario que la transformación sea estocástica (es decir $y=f(x,s)$ para alguna variable aleatoria $s$ ) porque $y=f(x)$ con un sistema determinista $f$ parece no funcionar.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Fácil pero agradable

1) Definamos una nueva variable aleatoria (lanzar una moneda)

$$\mathbb{P}(S) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \text{if $ S=0 $ } \\ \frac{1}{2}, & \text{if $ S=1 $ } \end{cases}$$

2) calcular la variable $X+S$ y definir

$$Y=1-2\cdot\mathbb{1}_{\{0\}}(X+S)$$

Esto es lo que necesitas: de hecho da la siguiente distribución

$$\mathbb{P}(Y) = \begin{cases} \frac{1-\mu}{2}, & \text{if $ Y=-1 $ } \\ \frac{1+\mu}{2}, & \text{if $ Y=1 $ } \end{cases}$$