Definición de Marsden de la serie de Taylor

Question

Cómo funciona la siguiente definición de polinomios de Taylor:

$f(x_0 + h)= f(x_0) + f'(x_0)\cdot h + \frac{f''(x)}{2!}h^2+ ... +\frac{f^(k)(x_0)}{k!}\cdot h^k+R_k(x_0,h),$

donde $R_k(x_0,h)=\int^{x_0+h}_{x_0} \frac{(x_0+h-\tau)^k}{k!}f^{k+1}(\tau) d\tau$

donde supongo $\lim_{h\to 0} \frac{R_k(x_0,h}{h^k}=0$

difieren de

$f(x)=f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots +\frac {f^k(a)}{k!} (x-a)^k + R(x) $

donde $R(x)$ es la función de error correspondiente.

Entiendo la intuición de la segunda definición y cómo se deriva, pero ¿cómo se aproxima la primera definición a la función $f$ ? ¿Puede mostrar cómo derivar la definición o dar una explicación intuitiva en la forma en que Tom Apostol lo hace para la primera definición:

Sé que se hace una pregunta similar en Dos definiciones de los polinomios de Taylor pero no es lo mismo.

Answer 1

Para $h\ne 0,$ dejar $J$ sea el intervalo abierto entre $x_0$ a $x_0+h$ (independientemente de que $h>0$ o $h<0$ . Supongamos que $$M_{k+1}=\sup_{t\in J}|f^{(k+1)}(t)|<\infty.$$ Entonces $$|R_k(x_0,h)|\leq |\int_{x_0}^{x_0+h}|x_0+h-t|^k M_{k+1}/k!\;dt|=$$ $$= |h|^{k+1}M_{k+1}/(k+1)!.$$ Así que $R_k(x_0,h)/h^k\to 0$ como $h\to 0.$ Sin embargo, sin algunas restricciones en $f$ no podemos garantizar que $M_{k+1}<\infty.$

La intuición es: Supongamos que hay una serie $S(x)=\sum_{j=0}^{\infty}a_jx^j$ y que para algunos $r>0$ tenemos $|x|<r\implies f(x)=S(x).$ Supongamos que la serie de $S$ y para cada una de sus derivadas , se puede diferenciar término a término, para cualquier $x\in (-r,r)$ (Esto significa intercambiar el orden de dos procesos limitantes, la suma infinita y la derivada). Entonces $$f(0)=S(0)=0!a_0.$$ $$ f'(0)=S'(0)=[\sum_{j=1}^{\infty}j a_j x^{j-1}]_{x=0}=1!a_1.$$ $$f''(0)=s''(0)=[\sum_{j=2}^{\infty}j(j-1)x^{j-2}]_{x=0}= 2!a_2.$$ Etcétera.

La serie $S(x)=\sum_{j=0}^{\infty}f^{(j)}(0)x^j/j! $ se denomina serie de potencias/expansión en serie de potencias de $f$ sobre $0$ / sobre $x=0$ . Puede ocurrir que no sea igual $f(x)$ excepto en $x=0.$

Por ejemplo, si $f(0)=0$ y $f(x)=\exp (-1/x^2)$ para $x\ne 0$ entonces $f^{(k)}(0)=0$ para todos $k\geq 0$ así que $S(x)=0$ para todos $x$ pero $x\ne 0\implies f(x)\ne 0.$

Answer 2

Estas dos definiciones son las mismas. Hay un diccionario entre ellas. Para demostrarlo, empezaremos con los tres primeros términos de la segunda definición que das, que te parece más intuitiva.

Así que escribimos el polinomio de Taylor de grado tres para $f$ en un punto $a$ que es $$ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2} f''(a)(x-a)^2. \tag{1} $$

Intuitivamente, esta aproximación es muy buena para $x$ muy cerca $a$ y probablemente se convierta en una aproximación peor a medida que $x$ se aleja de $a$ . Así que vamos a nombrar la diferencia entre $x$ y $a$ como $h$ o más bien $$ h = x-a. $$ Entonces podemos reescribir $(1)$ como $$ f(a + h) \approx f(a) + f'(a) h + \frac{1}{2} f''(a) h^2. $$ Como puede ver, esto es exactamente lo mismo que la primera definición en su pregunta, con el centro de la expansión como $a$ (es decir, con $x_0 = a$ ).

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Sería bueno recordar las dos definiciones clásicas de una derivada: $$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$$ y $$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.$$ Son el mismo concepto, y el diccionario entre ellos es el mismo que el diccionario entre las dos representaciones de los polinomios de Taylor en tu pregunta.