¿Problema en la prueba estándar de continuidad cuando la imagen previa es abierta?

Question

He visto varias pruebas del hecho de que una función $f$ de un espacio métrico $X$ a un espacio métrico $Y$ es continua si todo conjunto abierto en $Y$ tiene una imagen inversa abierta en $X$ .

Al demostrar el sentido inverso (es decir, "el hecho de que todo conjunto abierto en $Y$ tiene una preimagen abierta de la función $f$ en $X$ significa que $f$ es continua"), todo el mundo parece empezar con este argumento:

Por cada $p$ $\in$ $X$ y cada $\epsilon$ > $0$ , el balón abierto $B_\epsilon(f(p))$ está abierto en $Y$ . Por lo tanto, [varias implicaciones] ...

Mi pregunta es la siguiente: sólo está garantizado que haya un balón abierto $B_\epsilon(f(p))$ si $Y$ es un conjunto abierto, pero esta condición nunca se impone a $Y$ (o $X$ para el caso). Se podría tomar $Y$ para ser $[0,1]$ en la línea real, por ejemplo, y luego si $f(p) = 1$ no habrá un balón abierto a su alrededor.

¡¿Qué me estoy perdiendo aquí?!

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Este es un punto importante, y tal vez sutil.

Si $Y=[0,1]$ Entonces, como $Y$ es todo el espacio, siempre está abierto y cerrado. Para ver que está abierto, toma un punto cualquiera $y\in Y$ . Incluso si $y$ es $0$ o $1$ Cualquier pelota alrededor $y$ estará completamente contenida en $Y$ . ¿Por qué? Porque $Y$ se define como un espacio en sí mismo, y una bola alrededor de $y$ se da como

$B_{\epsilon}(y) = \{z\in Y\ |\ d(z,y)<\epsilon\}.$

Fíjese en la parte tan importante " $z\in Y$ ". Esto significa que la bola sólo puede contener puntos del propio espacio, y así, cualquier bola alrededor de cualquier punto en $y$ todavía está contenida en $Y$ y $Y$ está, pues, abierto.

Avísame, si esto no lo aclara.