¿Por qué Pi no se repite?

Question

Ok, acabo de aprender el Principio de Colocación(PHP) y su aplicación con la expansión decimal.

Para transmitir mi pregunta con claridad, necesito transmitir mi comprensión de PHP con respecto a la expansión decimal así que aquí va...

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Por el proceso de división larga, podemos obtener un número infinito de restos ya que $0$ también se considera un resto (consulte Fig 1 para entender lo que quiero decir) que es $>$ número finito de posible valores de los remanentes(por el teorema del cociente-remanente, $0≤r<d $ )

→Por PHP obtendremos definitivamente un resto cuyo valor es el mismo que el de un resto anterior (En la Fig. 1, obtenemos un resultado cuando r ₇ \=r ₁ )

→Como tal en algún momento, la secuencia de restos se repetirá infinitamente

→Esta secuencia de restos puede ser o bien ceros o bien no ceros

→Si es una secuencia de ceros, obtenemos decimales de terminación como $2$ (como en $2.\color{red}{\overline{000}}\ldots$$ ...$ ) o $3.625$ (como en $3.625\color{red}{\overline{000}}\ldots$$ ...$ )

→Si es una secuencia de no ceros, obtenemos un decimal repetido como $3/14$ = $0.2\color{red}{\overline{142857}}\ldots$

Mi pregunta: ¿Por qué PI no entra en ninguna de estas categorías? ¿Viola de alguna manera PHP ?

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Disculpas por las capturas de pantalla de antemano.

Fig. 1:

Answer 1

$\pi$ es un número trascendental y no racional. El argumento de PHP parece aplicarse a los números racionales.

Answer 2

Has asumido que puedes calcular $\pi$ dividiendo un número con un número finito y conocido de cifras entre otro número con un número finito y conocido de cifras.

Esta es la definición misma de lo que significa que un número sea racional. Y efectivamente su argumento es una prueba correcta de que la representación decimal de cualquier número racional se repite.

Pero $\pi$ no es racional. No se puede calcular dividiendo un número con un número finito y conocido de cifras entre otro número con un número finito y conocido de cifras.

Answer 3

El segundo paso de su inferencia debe estar mejor justificado. Observe que en su configuración el divisor $d$ debe estar en números enteros para que la aplicación de PHP tenga sentido. Ahora hay dos casos.

1. El dividendo es un número entero, que se representa como $n.00000\ldots$ . Entonces puedes usar PHP para argumentar que en algún resto obtenido después de la coma se repite. Así que tienes $r_k=r_{k+n}$ para $k,n$ obtenido después de los puntos decimales. Entonces tienes que seguir argumentando que derribar $0$ en $r_{k+n}$ produce un patrón de división periódica de longitud $n$ de ahí en adelante, lo que produce un decimal eventualmente repetido en su respuesta.

2. El dividendo no es un número entero, sino un número real arbitrario. En este caso, PHP le dice que obtendrá residuos duplicados. Pero no podrá seguir argumentando que la lista de restos se repite eventualmente. Por ejemplo, considere la división de $2$ en $0.10100100010000\ldots$ (aquí tengo $1$ seguido de $n$ ceros para $n=1$ a $\infty$ ). Su lista de restos es $0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0\ldots$ sin repetición. Sin embargo, incluso si obtuvieras una secuencia repetida de restos, esto no significaría necesariamente que tu respuesta sea un decimal repetido. Por ejemplo, considere cualquier número real $x$ , representado como un decimal $a_0.a_1a_2a_3\ldots$ . Hacer la división larga trivial de $1$ en $x$ . Obtendrá el resto $0$ cada vez, pero la secuencia decimal en el cociente no tiene por qué ser (eventualmente) repetitiva.

Ahora, en cuanto a $\pi$ , tiene que encajar en el segundo caso porque si empiezas tu división larga con el dividendo y el divisor siendo enteros, entonces ya estás calculando un número racional.