La matriz antibidiagonal con la antidiagonal principal {1,2,3,...} y la primera subantidiagonal {-1,-2,-3,...} tiene valores propios lambda={1,-2,3,-4,...}

Question

Consideremos la matriz antibidiagonal $B_6\in\mathbb{R}^{6\times 6}$ definido a lo largo de sus antidiagonales de la siguiente manera

$$ B_6=\begin{bmatrix} & & & & & 6\\ & & & & 5 & -5\\ & & & 4 & -4\\ & & 3 & -3\\ & 2 & -2\\ 1 & -1 \end{bmatrix}. $$

Sus valores propios son $\lambda(B_6)=\{1,-2,3,-4,5,-6\}$ un hecho fácilmente verificable numéricamente, por ejemplo, en MATLAB.

Además, se puede comprobar numéricamente que este patrón persiste. Con esto, busco una prueba a la siguiente afirmación.

Propuesta 1. Para una matriz $B_n$ definido como arriba, sus valores propios están dados $$\lambda(B_n)=\{(-1)^{i+1}i\}_{i=1}^n\equiv\{1,-2,3,-4,\ldots\}.$$

Esto ha resultado ser sorprendentemente difícil. Resulta tentador predecir los valores propios leyendo las diagonales. Sin embargo, la matriz no es realmente triangular, ni comparte muchas propiedades con las matrices triangulares. Es fácil construir contraejemplos en los que los valores propios no coinciden con los antidiagonales.

La ramificación de esta afirmación es que caracteriza a toda una clase de grafos como "bien conectados", y a la correspondiente clase de problemas de álgebra lineal como bien condicionada, independientemente del tamaño del problema. El hecho de que los valores propios sean enteros es bastante significativo, ya que implica que las soluciones a las versiones de programas enteros y lineales de esta matriz coincidirían, y esto puede aprovecharse para demostrar varios resultados de grafos. Puedo dar más antecedentes si es necesario.

Algunos enfoques candidatos que he probado:

1. Polinomio característico recursivo. Es rutinario escribir una fórmula para $\mathrm{det}(B_n - \lambda I_n)$ . Sin embargo, es difícil encontrar sus raíces sin recurrir a variaciones de las iteraciones de Newton.

2. Forma Golub-Kahan. Se pueden reordenar las filas y columnas para obtener una matriz tridiagonal con ceros a lo largo de la diagonal principal. Más concretamente, dejemos que $e_i$ denotan la columna i-ésima de la identidad, definen una transformada de similitud $E=\begin{bmatrix} e_1 & e_n & e_2 & e_{n-1} & \ldots\end{bmatrix}$ y considerar $\hat{B}=E^TBE$ . Sin embargo, su polinomio característico es un lío, y nos encontramos con el mismo problema al intentar demostrar las raíces del polinomio.

3. Matriz inversa. La matriz $B_6$ tiene la siguiente inversa $$B_{6}^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\\ \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5}\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ 1 \end{bmatrix}.$$ Una prueba de ello es simplemente la eliminación gaussiana de una matriz triangular. Por lo tanto, la proposición 1 puede reformularse como $\lambda(B_6^{-1})=\{1,-1/2,1/3,-1/4,1/5,-1/6\}$ . No parece que sea más fácil obtener los valores propios de $B^{-1}_n$ . De hecho, su polinomio característico es aún más difícil de escribir.

4. Interpretación como operador de diferencia. Finalmente, la matriz puede ser vista como un operador de diferencia, y en el límite $\lim_{n\to\infty}B_n$ sus funciones propias son polinomios ortogonales. Este enfoque da una prueba. Sin embargo, no dice nada sobre los casos en los que $n$ es pequeño, por ejemplo, 4 o 5.

¿Algún consejo o sugerencia?

Answer 1

Este problema es esencialmente lo mismo que este . En particular, dejemos que $J$ sea la matriz antidiagonal de identidad, y $P^{-1}$ sea la matriz mencionada en el enlace anterior. Entonces, la matriz en el puesto actual no es más que \begin {equation*} B_n = JP^{-T}J^T. \end {equation*} Ya que $J^TJ=I$ podemos recuperar los vectores propios y los valores de $B_n$ utilizando la derivación para $P$ en el post enlazado.