Dejemos que $F$ sea un espacio de Banach y $E$ sea un subespacio de $F$ . Dejemos que $e_{0}\in E$ sea un elemento de la norma $ 1$ y supongamos que
span $\{f\in F^{*}:\|f\|=f(e_{0})=1\}=F^{*}$ , donde $F^{*}$ es el espacio dual de $F$ (tal elemento $e_{0}$ de $F$ se llama elemento unitario de $F$ ). Entonces hay que demostrar que
span $\{f\in E^{*}:\|f\|=f(e_{0})=1\}=E^{*}$ es decir $e_{0}$ es un elemento unitario de $E$ .
Para ello, dejemos que $f\in E^{*}$ . Entonces $f$ puede extenderse a un elemento $g$ de $F^{*}$ con $\|f\|=\|g\|$ por el teorema de Hahn- Banach. Por la suposición,
$g=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}g_{i}$ con $g_{i}\in F^{*}, \|g_{i}\|=g_{i}(e_{0})=1.$
Ahora cada $g_{i}\in F^{*}\subseteq E^{*}$ Por lo tanto $f$ puede escribirse como una combinación lineal como la anterior. Sin embargo, es posible que no tengamos $\|g_{i}\|_{E}=1$ , sólo $\|g_{i}\|_{E}\leq 1$ .
¿Hay alguna forma diferente de demostrar que $f$ puede escribirse como una combinación lineal de elementos $f_{i}$ de $E^{*}$ con $f_{i}(e_{0})=\|f_{i}\|=1$ ?
