Calcular una raíz de un número complejo con la fórmula de Euler

Question

Dejemos que $z= 1+i$ . La forma polar de $z^{1/5}$ puede calcularse fácilmente: $$z = 2^{1 \over 10}\left\{\cos({\pi/4 + 2\pi k \over 5}) + i\cdot \sin({\pi/4 + 2\pi k \over 5})\right\}$$

la "raíz principal" como lo denota wolframalpha es: $$e^{i\pi \over 20}$$ Cómo se puede "saltar" fácilmente a la siguiente raíz, que es: $$e^{9i\pi \over 20}$$

Answer 1

En primer lugar, Wolfram alpha dio para:

cos(((pi/4))/5))*2^(1/10)

(que es lo que supongo que has probado también)

alrededor de 1,058

Sospecho que has cometido un pequeño error con los paréntesis (o quizás Wolfram está siendo tonto). De cualquier manera, nunca te abstengas de poner paréntesis para hacer ext a seguro, no puede hacer daño.

Este número definitivamente no puede ser negativo, ya que el ángulo del coseno está entre $0$ y $pi/4$ y se toma la raíz décima de 2 como módulo (por lo que la raíz es siempre positiva). Realmente, lo que obtuviste debió ser debido a un error de algún tipo.

Para que las respuestas "salten", basta con pensar en todo el sistema como una ecuación. Entonces, ¿cuál es la variable que debe, de múltiples maneras, satisfacer toda la ecuación? Es $k$ . Por lo tanto, establecemos toda la ecuación con $k$ como única variable:

$ 1 + i = 2^{1 \over 10}\left\{\cos({\pi/4 + 2\pi k \over 5}) + i\cdot \sin({\pi/4 + 2\pi k \over 5})\right\}$

Esto resolverá $k$ y Wolfram escupirá una forma general, por lo tanto, le dará un medio para obtener fácilmente las siguientes raíces.

Que tenga un buen día.

Answer 2

Sólo incremento $k$ ? Entonces, la primera raíz ("principal") es cuando $k = 0$ la segunda es cuando $k = 1$ y así sucesivamente, hasta $k = 4$ .

$z^{1/5}_0 = 2^{\frac{1}{10}} e^{\frac{\pi/4 + 2\pi * 0}{5}}$

$z^{1/5}_1 = 2^{\frac{1}{10}} e^{\frac{\pi/4 + 2\pi * 1}{5}}$

$z^{1/5}_2 = 2^{\frac{1}{10}} e^{\frac{\pi/4 + 2\pi * 2}{5}}$

$\dots$

Answer 3

El $n$ -raíces de un número complejo $z = re^{i\varphi}$ son $$ \alpha_k = \sqrt[n]{r}e^{i\frac{\varphi}{n} + i\frac{2\pi}{n}k} \quad\text{ where } k \in \{0,1,\ldots,n-1\} $$ porque entonces $$ \alpha_k^n = re^{i\varphi + i2\pi k} = re^{i\varphi} \text{.} $$ (Recuerde que $e^{i2\pi k} = 1$ para $k \in \mathbb{Z}$ )

Así, el $n$ complejo $n$ -raíces de $z$ siempre forman un polígono regular cuyos vértices se encuentran en el círculo de radio $\sqrt[n]{|z|}$ alrededor de 0.

Se puede pasar de una raíz a la siguiente multiplicando con $e^{i\frac{2\pi}{n}}$ es decir, usted tiene $$ \alpha_{n+1} = \alpha_n e^{i\frac{2\pi}{n}} \text{.} $$

Una forma de definir el principal $n$ -la raíz es elegir que $\alpha_n$ para el que el ángulo entre $\alpha_n$ y el eje real positivo es el más pequeño. En ese caso, las raíces principales siempre tienen parte imaginaria positiva, y para $n \geq 4$ también parte real positiva.