Dejemos que $f: X \rightarrow Y$ sea una función y $ A \subseteq Y$ y $B \subseteq Y$ . Demostrar que $f^{-1}(A)\setminus f^{-1}(B)= f^{-1}(A\setminus B)$ .

Question

Dejemos que $f: X \rightarrow Y$ sea una función y $ A \subseteq Y$ y $B \subseteq Y$ . Demostrar que $f^{-1}(A)\setminus f^{-1}(B)= f^{-1}(A \setminus B)$ .

Mi definición de imagen inversa es Sea $f: X \rightarrow Y$ sea una función y que $V \subseteq Y$ . La imagen inversa de V es el conjunto $f^{-1}(V)$ $=$ $\{x\in X$ tal que $f(x) \in V \}$

Sé que tengo que demostrar que el RHS es un elemento en el LHS y viceversa. ¿Por dónde debo empezar?

Answer 1

Aquí hay una dirección:

Dejemos que $x\in f^{-1}(A)\setminus f^{-1}(B)$ . Entonces $x\in f^{-1}(A)$ y $x\not\in f^{-1}(B)$ . Por lo tanto, $f(x)\in A$ y $f(x)\not\in B$ . Por lo tanto, $f(x)\in A\setminus B$ . Desde $f(x)\in A\setminus B$ , $x\in f^{-1}(A\setminus B)$ .

La otra dirección sólo sigue esta prueba al revés.