Cuando el componente de identidad de un subgrupo abstracto es un subgrupo de Lie

Question

Si $G$ es un grupo de Lie y $H$ es un subgrupo abstracto de $G$ tal que el componente de identidad $H^0$ es un subgrupo de Lie de $G$ . Es $H$ un subgrupo de Lie de $G$ ?

Answer 1

En general, no. Por ejemplo, $G=(\mathbb R^2,+)$ y $H=\mathbb R\times\mathbb Q$ . Entonces $H^0=\mathbb R\times\{0\}$ que es un $1$ -de Lie, pero $H$ no es un subgrupo de Lie de $G$ .