¿Cuántos subconjuntos?

Question

¿Cuántos subconjuntos de tamaño 4 del conjunto S={1,2,....20} contienen al menos 1 de los elementos 1,2,3,4,5?

$${5 \choose 4}{15 \choose 0}+{5 \choose 3}{15 \choose 1}+{5 \choose 2}{15 \choose 2}+{5 \choose 1}{15 \choose 3} + \binom50 \binom{15}4$$

5 "elementos especiales"
15 "elementos regulares"

¿Es correcta mi respuesta?

Answer 1

Tu respuesta es casi correcta - el último término es confuso y también erróneo. Considere que cualquier subconjunto de tamaño $4$ que contiene al menos uno de los $5$ los elementos especiales pueden dividirse en un subconjunto $S$ de elementos especiales (de tamaño $1$ a través de $4$ ) y un subconjunto $R$ de elementos regulares (de tamaño $0$ a través de $3$ ). Por lo tanto, la respuesta correcta sería simplemente: $${5\choose 4}{15\choose 0}+{5\choose 3}{15\choose 1}+{5\choose 2}{15\choose 2}+{5\choose 1}{15\choose 3}$$ donde tomamos la suma sobre los posibles tamaños de $S$ y $R$ . Esto es básicamente lo que tienes, excepto sin el confuso último término, que parece representar el caso si $S$ tenía el tamaño $0$ - que no es un caso que nos interese - ese caso representa no tener elementos especiales.

Answer 2

Los subconjuntos complementarios - los subconjuntos de tamaño $4$ que contienen ninguno de $1,2,3,4,5$ son $\displaystyle \binom{15}{4}$ y hay $\displaystyle \binom{20}{4}$ subconjuntos de tamaño $4$ en todos. Por lo tanto, el número de subconjuntos de tamaño $4$ que contienen al menos uno de estos números es igual a $$\binom{20}{4}-\binom{15}{4}=\frac{20!}{4!\,15!}-\frac{15!}{4!\,11!}=384.$$