Identificación de grupos con subgrupos isomorfos a $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$

Question

Estuve jugando con productos semidirectos y traté de encontrar un producto semidirecto no abeliano de $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\rtimes \mathbb{Z}_2$ . No pude encontrar un grupo que funcionara, y me di cuenta de que esto se debía a que los grupos no abelianos de orden 8 ( $D_8$ y $Q$ ) no tenía $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ como subgrupo.

Así que mi pregunta es si podemos identificar cuando un grupo puede ser expresado como un producto semidirecto que incluye $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ . Por ejemplo, ¿cómo sabemos si más de un grupo de orden 20 puede escribirse como un producto semidirecto de $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ ?

(Digo "más de uno" por el producto directo $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_5$ que es técnicamente un producto semidirecto)

Muchas gracias.

Answer 1

Pero $D_8$ hace tienen $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ como subgrupo: utilizando la presentación $$D_8 = \langle a,b \mid a^2 = b^2 = (ab)^4 = Id\rangle$$ el subgrupo generado por $a$ y $bab$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ .

Para obtener un producto semidirecto no abeliano $(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2) \rtimes \mathbb{Z}_2$ todo lo que necesitas es un isomorfismo de orden 2 de $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ por ejemplo, intercambiar los dos generadores.

Pero no hay grupos no abelianos de orden 20 que sean productos semidirectos de la forma $$(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2) \rtimes \text{(some order 5 group)} $$ porque el único grupo de orden 5 es cíclico y no hay automorfismos de orden 5 de $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ .