Supongamos que buscamos a evaluar (el término para $j=0$ es cero)
$$\frac{1}{2}
\sum_{j=0}^b \left({b\elegir j} + e_j\right)
\left({b\elegir j} + e_j-1\right)
{n+b-j\elegir 2b}.$$
Esta suma de cuatro componentes, llamarlos $A,B,C$ $D.$
Tenemos
$$A = \frac{1}{2}
\sum_{j=0}^{b/2} {b\elegir 2j}^2 {n+b-2j\elegir 2b},$$
y
$$B = \frac{1}{2}
\sum_{j=0}^{b/2} {b\elegir 2j} {n+b-2j\elegir 2b},$$
y
$$C = \frac{1}{2}
\sum_{j=0}^{b/2} {b\elegir 2j+1}^2 {n+b-2j-1\elegir 2b},$$
y, finalmente,
$$D = \frac{1}{2}
\sum_{j=0}^{b/2} {b\elegir 2j+1} {n+b-2j-1\elegir 2b}.$$
Comenzando con $A$ ponemos (vamos a utilizar esta sustitución varias veces
con diferentes valores de$b$$j$)
$${b\elegir 2j}
= \frac{1}{2\pi i}
\int_{|z|=\epsilon}
\frac{(1+z)^b}{z^{2j+1}} \; dz$$
para obtener la suma
$$\frac{1}{2} \frac{1}{2\pi i}
\int_{|z|=\epsilon}
\frac{(1+z)^b}{z}
\sum_{j=0}^{b/2} {b\elegir 2j} {n+b-2j\elegir 2b}
\frac{1}{z^{2j}} \; dz.$$
Para el interior de la suma obtenemos
$$\frac{1}{2\pi i}
\int_{|w|=\epsilon}
\frac{(1+w)^{n+b}}{w^{2b+1}}
\sum_{j=0}^{b/2} {b\elegir 2j} \frac{1}{z^{2j}(1+w)^{2j}}
\; dw
\\ = \frac{1}{2} \frac{1}{2\pi i}
\int_{|w|=\epsilon}
\frac{(1+w)^{n+b}}{w^{2b+1}}
\left(\left(1+\frac{1}{z(1+w)}\right)^b
+ \left(1-\frac{1}{z(1+w)}\right)^b\right) \; dw
\\ = \frac{1}{2} \frac{1}{2\pi i}
\int_{|w|=\epsilon}
\frac{(1+w)^{n}}{w^{2b+1} z^b}
\left(\left(z+zw+1\right)^b
+ \left(z+zw-1\right)^b\right) \; dw
.$$
Esto nos permite evaluar $B$ ha $z=1$ obtener
$$-\frac{1}{4} \frac{1}{2\pi i}
\int_{|w|=\epsilon}
\frac{(1+w)^{n}}{w^{2b+1}}
\left(\left(w+2\right)^b
+ \left(w\ \ derecho)^b\right) \; ps.$$
Obtenemos $C$ integral
$$\frac{1}{2} \frac{1}{2\pi i}
\int_{|z|=\epsilon}
\frac{(1+z)^b}{z}
\sum_{j=0}^{b/2} {b\elegir 2j+1} {n+b-2j-1\elegir 2b}
\frac{1}{z^{2j+1}} \; dz.$$
El interior de la suma aquí se evalúa a
$$\frac{1}{2} \frac{1}{2\pi i}
\int_{|w|=\epsilon}
\frac{(1+w)^{n}}{w^{2b+1} z^b}
\left(\left(z+zw+1\right)^b
- \left(z+zw-1\right)^b\right) \; dw
.$$
Esto nos permite evaluar $D$ ha $z=1$ obtener
$$+\frac{1}{4} \frac{1}{2\pi i}
\int_{|w|=\epsilon}
\frac{(1+w)^{n}}{w^{2b+1}}
\left(\left(w+2\right)^b
- \left(w\ \ derecho)^b\right) \; ps.$$
De ello se desprende que $B+D$ es
$$-\frac{1}{2} \frac{1}{2\pi i}
\int_{|w|=\epsilon}
\frac{(1+w)^{n}}{w^{2b+1}} w^b\; dw
= -\frac{1}{2} {n\elegir b}.$$
Por otro lado $A+C$ es
$$\frac{1}{2} \frac{1}{2\pi i}
\int_{|z|=\epsilon}
\frac{(1+z)^b}{z}
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|w|=\epsilon}
\frac{(1+w)^{n}}{w^{2b+1} z^b}
\left(z+zw+1\right)^b \; dw \; dz
\\ = \frac{1}{2} \frac{1}{2\pi i}
\int_{|z|=\epsilon}
\frac{(1+z)^b}{z}
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|w|=\epsilon}
\frac{(1+w)^{n}}{w^{2b+1}}
\left(\frac{1+z}{z}+w\ \ derecho)^b \; dw \; dz.$$
Este es
$$\frac{1}{2}
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|w|=\epsilon}
\frac{(1+w)^{n}}{w^{2b+1}}
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|z|=\epsilon}
\frac{(1+z)^b}{z}
\sum_{q=0}^b {b\elegir q}
\left(\frac{1+z}{z}\right)^q w^{b-q} \; dz \; dw
\\ = \frac{1}{2}
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|w|=\epsilon}
\frac{(1+w)^{n}}{w^{2b+1}}
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|z|=\epsilon}
\sum_{q=0}^b {b\elegir q}
\frac{(1+z)^{b+p}}{z^{q+1}} w^{b-q} \; dz \; dw
\\ = \frac{1}{2}
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|w|=\epsilon}
\frac{(1+w)^{n}}{w^{2b+1}}
\sum_{q=0}^b {b\elegir q} {b+q\elegir q} w^{b-q} \; dw
\\ = \frac{1}{2}
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|w|=\epsilon}
\sum_{q=0}^b {b\elegir q} {b+q\elegir q}
\frac{(1+w)^{n}}{w^{b+q+1}} \; ps.$$
Esto finalmente se rinde
$$\frac{1}{2}
\sum_{q=0}^b {b\elegir q} {b+q\elegir q} {n\elegir b+p}
= \frac{1}{2}
\sum_{q=0}^b {b\elegir q}
\frac{n!}{b!q!(n-b-q)!}
\\ = \frac{1}{2} {n\elegir b}
\sum_{q=0}^b {b\elegir q}
\frac{(n-b)!}{p!(n-b-q)!}
= \frac{1}{2} {n\elegir b}
\sum_{q=0}^b {b\elegir q} {n-b\elegir q}
\\ = \frac{1}{2} {n\elegir b}
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|v|=\epsilon}
\frac{(1+v)^{n-b}}{v}
\sum_{q=0}^b {b\elegir q} \frac{1}{v^p} \; dv
\\ = \frac{1}{2} {n\elegir b}
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|v|=\epsilon}
\frac{(1+v)^{n-b}}{v}
\left(1+\frac{1}{v}\right)^b \; dv
\\ = \frac{1}{2} {n\elegir b}
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|v|=\epsilon}
\frac{(1+v)^{n}}{v^{b+1}} \; dv
= \frac{1}{2} {n\elegir b}^2.$$
La conclusión es que
$$A+B+C+D
= \frac{1}{2} {n\elegir b}^2
- \frac{1}{2} {n\elegir b}
= \frac{1}{2} {n\elegir b}
\left({n\elegir b}-1\right),$$
que iba a ser mostrado.
Otro ejemplo de la Egorychev método es en este
MSE enlace.
Anexo Tue Apr 14 21:38:00 CEST 2015.
Como por los comentarios, podemos evaluar $B+D$ como sigue.
$A$B+D = -\frac{1}{2}
\sum_{j=0}^b {b\elegir j} (-1)^j {n+b-j\elegir 2b}.$$
Uso de la norma integral de sustitución de arriba esta rendimientos
$$-\frac{1}{2}
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|v|=\epsilon}
\frac{(1+v)^{n+b}}{v^{2b+1}}
\sum_{j=0}^b {b\elegir j} (-1)^j \frac{1}{(1+v)^j}\; dv
\\ = -\frac{1}{2}
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|v|=\epsilon}
\frac{(1+v)^{n+b}}{v^{2b+1}}
\left(1-\frac{1}{1+v}\right)^b \; dv
\\ = -\frac{1}{2}
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|v|=\epsilon}
\frac{(1+v)^{n+b}}{v^{2b+1}}
\left(\frac{v}{1+v}\right)^b \; dv
\\ = -\frac{1}{2}
\frac{1}{2\pi i}
\int_{|v|=\epsilon}
\frac{(1+v)^{n}}{v^{b+1}} \; dv
= -\frac{1}{2}{n\elegir b}.$$
