Límite de $L ^ norma de p$

Question

¿Alguien me podria ayudar demostrar que dada una medida finito espacio $(X, \mathcal{M}, \sigma)$ y una mensurable función $f: X\to\mathbb {R}$ en $L ^ \infty$ y algunos $L ^ q$, \lim_{p\to\infty}\|f\|_p=\|f\|_\infty? No sé dónde empezar.

Answer 1

Revisión $\delta>0$ y dejar $S_\delta=\{x|f(x)|\geqslant \lVert f\rVert_\infty-\delta\}$ $\delta<\lVert f\rVert_\infty$. Tenemos $$\lVert f\rVert_p\geqslant \left(\int_{S_\delta}(\lVert f\rVert_\infty-\delta)^pd\mu\right)^{1/p}=(\lVert f\rVert_\infty-\delta)\mu(S_\delta)^{1/p},$$ desde $\mu(S_\delta)$ es finita y positiva. Esto le da $$\liminf_{p\+\infty}\lVert f\rVert_p\geqslant\lVert f\rVert_\infty.$$ Como $|f(x)|\leqslant\lVert f\rVert_\infty$ para casi cada $x$, tenemos para $p>p$, $$\lVert f\rVert_p\leqslant\left(\int_X|f(x)|^{p-q}|f(x)|^qd\mu\right)^{1/p}\leqslant \lVert f\rVert_\infty^{\frac{p-q}p}\lVert f\rVert_q^{p/p},$$ dando el reverso de la desigualdad.

Answer 2

Vamos $f:X\to \mathbb{R}$. Suponga que $f$ es medible, y que $\|f\|_p<\infty$ para todos los grandes $p$. Supongamos que para la conveniencia de que $f\geq 0$. (Si no, sólo trabajo con $f^*:=|f|$.) Definimos $$\|f\|_{\infty}:=\sup \{i\in \mathbb{R}: \mu\left( \{x:|f(x)|\geq r\} \right)>0\}.$$

Yo reclamo que $\|f\|_p < \infty$ grandes $p$ implica que $\|f\|_\infty < \infty$. Si $\|f\|_{\infty}=0$, podemos ver que la proposición tiene trivialmente. Si $\|f\|_{\infty}\neq 0$, vamos $M:=\/f\|_{\infty}$.

Revisión $\epsilon$ tales que $0< \epsilon < M$. Definir $D:=\{x:f(x)\geq M-\epsilon\}$. Observar que $\mu(D)>0$, por definición, de $\|f\|_{\infty}$. También, $\mu(D)<\infty$ desde $f$ es integrable para todos los grandes $p$. Ahora podemos establecer $\liminf_{p\to\infty }\|f\|_p\geq M-\epsilon$ por $$\left( \int_{X}f(x)^p dx \right)^{1/p} \geq \left( \int_D (M-\epsilon)^pdx \right)^{1/p} = (M-\epsilon)\mu(D)^{1/p} \xrightarrow{p\to\infty}(M-\epsilon)$$

Ahora nos muestran $\limsup_{p\to\infty}\|f\|_{p} \leq M+\epsilon$. Deje que $\tilde{f}(x) := \dfrac{f(x)}{M+\epsilon}$. Observar que $0\leq \tilde{f}(x)\leq M/(M+\epsilon)<1$, y que $$\left( \int_{X} f(x)^p dx \right)^{1/p} = (M+\epsilon)\left( \int_{X} \tilde{f}(x)^p dx \right)^{1/p}.$$

Ahora basta para demostrar que $\int_X \tilde{f}(x)^p dx$ está acotada arriba por $1$ como $p\to \infty$, y desde entonces se han

$$\left( \int_{X} f(x)^p dx \right)^{1/p} = (M+\epsilon)\left( \int_{X} \tilde{f}(x)^p dx \right)^{1/p} \leq M+\epsilon.$$

Pero observe que $$\int_{X} f(x)^{a+b} dx = \int_{X} f(x)^{a}f(x)^b dx$$ $$\leq \int_{X} f(x)^{a} \left(\frac{M}{M+\epsilon}\right) ^b dx = \left(\frac{M}{M+\epsilon}\right)^b \int_{X} f(x)^{a} dx.$$
Por lo tanto $\int_{X} f(x)^{p} dx$ eventualmente será menor que uno. Esto muestra que $\limsup_{p\to\infty}\|f\|_{p} \leq M+\epsilon$ y completa la prueba.