operador compacto entre $L^{p}(\mu)$ y $C(X)$

Question

Estoy resolviendo el ejercicio del análisis funcional de Conway. Intento esta pregunta.

Dejemos que $X$ sea un espacio compacto y que $\mu$ sea una medida de Borel positiva sobre $X$ . Dejemos que $T \in \mathcal{B}(L^p(\mu) , C(X))$ donde $1<p<\infty$ . Demuestre que si $A : L^p(\mu) \to L^p(\mu)$ se define por $Af = Tf$ entonces $A$ es compacto.

Creo que si usamos el hecho de que $L^p(\mu)$ es reflexivo y si $A$ es completamente continua, entonces podemos resolver este problema porque esto indica $A$ es un operador compacto.

Así que asumí que $f_n \to 0$ débilmente, es decir, ( $\int_X f_n g d\mu \to 0$ por cada $g \in L^q(\mu)$ ) y trató de demostrar que $\int_X (Tf_n)^p d\mu \to 0$ . Sin embargo, no puedo acercarme al siguiente paso.

Gracias.

Answer 1

Desde $L^p(\mu)$ es reflexivo, su bola unitaria $B$ es débilmente compacto. Como $T$ es continua para las topologías de la norma, también es continua para las topologías débiles y, por tanto $T(B)$ es un conjunto débilmente compacto en $C(X)$ . En particular, dado que el mapa $f \mapsto f(x)$ es una función lineal continua sobre $C(X)$ para cada $x \in X$ para cualquier secuencia $f_n$ en $T(B)$ existe una subsecuencia $f_{n_k}$ que converge puntualmente a $f \in C(X)$ .

Además, como $T$ es un operador acotado $T(B)$ es un conjunto acotado. Por tanto, por el teorema de convergencia acotada $f_{n_k} \to f$ en $L^p(X)$ también, demostrando el resultado deseado.