Markov local implica Markov global

Question

Dejemos que $G=(V,E)$ sea un grafo simple finito, y sea $\{X_i\}_{i \in V}$ sea una colección de variables aleatorias asociadas a los vértices de $G$ . Las distribuciones conjuntas de estos v.r. es una Campo aleatorio de Markov si, para tres subconjuntos cualesquiera $U,W,C \subset V$ tal que $C$ separa $U$ de $W$ (es decir, cualquier camino desde $U$ a $W$ pasa a través de $C$ ), se sostiene que, condicionado a las v.r. en $C$ los r.v.s en $U$ son independientes de los de $W$ . Esto se denomina propiedad global de Markov . Una implicación es la propiedad de Markov por pares que establece que para todo $(i,j) \not \in E$ , $X_i$ es independiente de $X_j$ condicionado por el resto de las r.v.s.

Una distribución finita sobre $\{X_i\}$ se llama positivo si toda combinación de asignaciones tiene probabilidad positiva (aquí "toda" significa aquellas cuyos marginales son positivos). Estoy buscando una referencia para el hecho de que para distribuciones positivas, la propiedad de Markov por pares implica la propiedad de Markov global. Gracias.

Answer 1

src: http://web.engr.illinois.edu/~swoh/courses/IE598/handout/markov.pdf

copiado abajo

(3) siendo si $x_A ⊥ x_B|(x_C, x_D)$ y $x_A ⊥ x_C|x_B ∪ x_D,$ entonces $x_A ⊥ (x_B, x_C)|x_D$

que siempre se mantiene para P positivo.

Prueba de (P) $⇒$ (G) cuando se cumple (3): [Pearl,Paz 1987] por inducción sobre s $\triangleq$ |B| cuando s = n - 2, (P) $⇔$ (G) asumir (G) para cualquier B con |B| ≥ s y demostrarlo para |B| = s - 1

por supuesto de inducción $$x_C ⊥ x_A|(x_B, x_i) \\ x_C ⊥ x_i|(x_B, x_A) by (3),\\ x_C ⊥ (x_A, x_i)|x_B$$ por inducción, vemos que (G) se cumple para todos los tamaños de B.