$\require{color}$
Dado que $$ f(x) = \begin{cases} \arctan(3x), & x<0 \\[2ex] \ \left(x+\frac32\right)\ln\left(2x+1\right), & x\geq0 \end{cases}$$ encontrar dónde la función es creciente o decreciente.
Mi solución:
La diferenciación da
$$ f'(x) = \begin{cases} \ \frac3{1+9x^2}, & x<0 \\[2ex] \ \ln\left(2x+1\right)+\frac{2x+3}{2x+1}, & x\geq0 \end{cases}$$
$\circ$ Para $x<0:$
$$f'(x)>0\implies\frac3{1+9x^2}>0\implies \{\forall x\in \mathbb{R}\mid \frac3{1+9x^2}>0\}.$$
$\color{red} (?) $ Para $0\leq x<\frac12:$
$$f'(0)=3,\quad f'\left(\frac12\right)=\ln(2)+2,\quad f''(x)=\frac{4x-2}{(1+2x)^2}$$
Como los puntos finales del intervalo son positivos y no hay ningún mínimo negativo en dicho intervalo, entonces podemos implicar que $f'(x)$ es positivo en $0\leq x<\frac12$ y por lo tanto $f(x)$ está aumentando. Por esto, $f(x)$ está aumentando
$\circ$ Para $x\geq\frac12:$
$$f'\left(\frac12\right)=\ln(2)+2,\quad f''(x)=\frac{4x-2}{(1+2x)^2}>0\implies x\geq\frac12.$$
Desde $f''(x)$ es positivo para $x>1/2$ entonces $f'(x)$ está aumentando. Sabiendo que $f'(1/2)$ es positivo implica que $f'(x)$ es siempre positivo en el intervalo dado y por lo tanto $f(x)$ está aumentando
Esto demuestra que $f(x)$ es siempre creciente.
Mis preguntas surgen sobre la $\color{red} (?) $ secciones. No estoy seguro de que mi implicación con los mínimos sea correcta. Si no es así, ¿hay alguna otra forma de demostrarlo? También quiero añadir que no puedo utilizar el método de Newton ni ningún otro método de aproximación de raíces.
