Ayuda con los deberes. Prueba $x+2(-1)^x ≥ x-2$ para todos $x \in\mathbb Z ^+$

Question

Estoy tratando de probar $x+2(-1)^x ≥ x-2$ para todos $x \in \mathbb Z^+$

Me he dado cuenta de que debo usar la inducción, pero me he atascado en el paso de la inducción. Estoy tratando de mostrar verdadero para $x=k+1$ .

$(x+1)+2(-1)^{x+1} ≥ (x+1)-2$

Trato de obtener el RS del LS

$$\begin{matrix}(x+1)+2(-1)^{x+1} &=& (x+1)+2((-1)^x)(-1) &\text{(from definition of exponents)}\\ &>& (x+1)+2(-x)(-1)&\text{(since }1^x > x)\\ &=& 3(x)+1&\text{(I want to get to }(x+1)-2)\end{matrix}$$

(puedo decir que $3(x)+1 ≥ (x+1)-2$ ?)

Voy a tratar de manipular ambos lados

$(x+1)+2(-1)^{x+1} ≥ (x+1)-2\\ (x+2((-1)^x)+1-2) ≥ (x+1)\\ x+2((-1)^x)-1 ≥ x+1\\ x+2((-1)^x)+1-1 ≥ x+1-1\\ x+2((-1)^x) ≥ x$

pero ahora si dejo que $x=1$ Me sale $-1 ≥ 1$ así que sé que también he hecho algo mal aquí además de que no creo que deba manipular ambas partes.

He comprobado el caso base y sé que lo que intento demostrar es correcto como en $x+2(-1)^x ≥ x-2$ para todos $x \in\mathbb Z^+$ pero no puedo saber qué estoy haciendo mal.

Sé que no he formateado bien la pregunta con los exponentes lo solucionaré para futuras preguntas. Cualquier ayuda sería muy apreciada gracias de antemano.

Answer 1

No es necesaria la inducción:

Lo es:

$x+2\cdot (-1)^x=\begin{cases} x-2,\text{for x=2k+1}\\ x+2,\text{for x=2k}\end{cases}\geq x-2$

con $k\in\mathbb{N}$