Consideremos la base ortogonal $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}\}$ en $E^3$ .
Sabemos que $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ , $\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})=0$ y $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})=0$ .
Dejemos que $$\vec{r}= r_1 \vec{a}+r_2 \vec{b}+r_3 (\vec{a} \times \vec{b})\quad(1)$$ como $\vec{r} \times \vec{a} = \vec{b}$ apliquemos el producto cruzado por $\vec{a}$ en ambos lados: $$(\vec{r} \times \vec{a}) \times \vec{a} = \vec{b}\times \vec{a} \quad (2)$$ Recordemos que: $$(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = -(\vec{v}\cdot \vec{w}) \vec{u} + (\vec{u}\cdot \vec{w}) \vec{v} \quad(3) $$ Sustituyendo $(1)$ en $(2)$ y utilizando $(3)$ se deduce: $$-(\vec{a}\cdot \vec{a}) \vec{r} + (\vec{r}\cdot \vec{a}) \vec{a}= \vec{b} \times \vec{a} \Rightarrow $$ $$-(\vec{a}\cdot \vec{a})( r_1 \vec{a}+r_2 \vec{b}+r_3 (\vec{a} \times \vec{b})) + ((r_1 \vec{a}+r_2 \vec{b}+r_3 (\vec{a} \times \vec{b}))\cdot \vec{a}) \vec{a}= \vec{b} \times \vec{a} \Rightarrow $$ $$-|\vec{a}|^2r_2 \vec{b} - |\vec{a}|^2r_3(\vec{a} \times \vec{b})= \vec{b} \times \vec{a} \Rightarrow $$ $$\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} r_2= 0 \\ r_3 = \frac{1}{|\vec{a}|^2}\\ \end{array} \right. $$
Por lo tanto, $$\vec{r}=r_1 \vec{a}+\frac{1}{|\vec{a}|^2}(\vec{a} \times \vec{b}) \quad (4)$$
Como podemos ver, $(4)$ es una ecuación lineal, ya que $r_1$ ( $r_1 \in \mathbb R$ ) es arbitraria.
Dejemos que $Y_0$ un punto de la línea $(4)$ tal que $r_1=0$ concluimos que: $$Y_0=\frac{1}{|\vec{a}|^2}(\vec{a} \times \vec{b}) \quad (5)$$ Averigüemos ahora la ecuación del plano que contiene la recta $(4)$ y el punto $Y$ ( $Y$ no está en línea $(4)$ ).
Dejemos que $P$ un punto del plano, $\lambda$ y $\mu$ números reales, la ecuación del plano viene dada por: $$P=Y_0 + \lambda(Y-Y_0)+ \mu \vec{a} \quad (6)$$ Sustituyendo $(5)$ en $(6)$ obtenemos: $$P=\frac{1}{|\vec{a}|^2}(\vec{a} \times \vec{b}) + \lambda(Y-\frac{1}{|\vec{a}|^2}(\vec{a} \times \vec{b}) )+ \mu \vec{a} \quad (7)$$
