¿Aplicaciones del Descenso?

Question

La técnica del descenso fielmente plano y, en el caso de los espacios vectoriales, el descenso de Galois se ha utilizado bastante en la Geometría Algebraica. Sin embargo, la cuestión de si, por ejemplo, un determinado $k$ -espacio vectorial $V$ surge de algún $L$ -espacio vectorial $W$ parece que podría preguntarse en una gran variedad de escenarios. Me pregunto, en particular, si alguien ha visto el descenso en la teoría de la representación modular.

Answer 1

La pregunta es demasiado vaga para tener una respuesta realmente satisfactoria, pero obviamente el descenso es omnipresente en la teoría de la representación (modular).

Por ejemplo, el resultado básico de que dos representaciones de un grupo $G$ en algunos $k$ -son isomorfos si se convierten en isomorfos en alguna extensión $L$ de $k$ es un caso de descenso fielmente plano.

O para tomar un ejemplo menos trivial, dejemos que $R$ sea un d.v.r con campo residual $k$ algebraicamente cerrada (o simplemente separablemente cerrada, o finita, o...) y de campo de fracción $K$ . Dejemos que $\rho$ sea una representación de un grupo $G$ en alguna extensión $L$ de $K$ cuyos polinomios característicos del elemento de $g$ están en $R[x]$ . (En la característica cero, se puede sustituir esa condición por "el carácter toma valores en $R$ "). Una pregunta natural en este contexto es si se puede "descender" $\rho$ a una representación sobre $R$ . Por ejemplo, la respuesta es afirmativa cuando existe una representación de $G$ en $k$ que es absolutamente irreducible y cuyo polinomio característico coincide con la reducción de los de $\rho$ . La prueba utiliza una gran cantidad de planos fieles de la teoría de las álgebras de Azumaya.

Edición: para responder al comentario de Martin, preciso cómo la fidelidad de la planicidad juega un papel en el primer ejemplo.

Lema: Sea $G$ sea un grupo. Sea $k$ sea un anillo noetheriano conmutativo, $k'$ un piso $k$ -de la álgebra. Sea $M$ , $N$ , sea $k[G]$ -generado finitamente como $k$ -módulos. dejar $M'=M \otimes_k k'$ y $N'=N\otimes_k k'$ . Entonces $Hom_{k[G]}(M,N) \otimes_k k' = Hom_{k'[G]}(M',N')$ . Además, si $k'$ es una imagen fielmente plana $k$ -Álgebra, $Hom_{k[G]}(M,N)$ es distinto de cero si y sólo si $Hom_{k'[G]}(M',N')$ es distinto de cero.

Pf: Deja $g_1,\dots,g_n$ sea una familia finita de elementos de $g$ generando la imagen de $k[G]$ en $End_{k}(N)$ . Dejemos que $t_i$ sea el endomorfismo lineal de $H:=Hom_{k}(M,N)$ dado por $\phi \mapsto \phi g_i - g_i \phi$ . Considere el mapa $H \rightarrow H^n$ dado por el $t_i$ . El núcleo de este mapa es $Hom_{k[G]}(M,N)$ . el núcleo del mismo mapa tensorizado por $k'$ es $Hom_{k'[G]}(M',N')$ . De ahí el primer resultado por planitud. El segundo está claro por la planitud fiel.

Así, por ejemplo, si $k$ , $k'$ es el campo, $M$ , $N$ simple $k[G]$ -módulos, se recupera la clásica afirmación de que $M \simeq N$ fuera de $M' \simeq N'$ . Pero espero haber demostrado que la esencia de esta afirmación es fielmente el descenso plano.

Answer 2

Descenso hace aparecen en la teoría de la representación modular (de grupos finitos) de una forma ligeramente sorprendente. En efecto, las técnicas de descenso nos permiten discutir la extensión de $Stab(kH)$ a $Stab(kG)$ , donde $H$ es un subgrupo de $G$ de índice primo a la característica del campo $k$ y donde $Stab(-)$ denota la categoría estable de los módulos modulares de los proyectivos.

Para entender cómo un problema de extensión resulta ser un problema de descenso Hay que empezar por la siguiente observación de "monadicidad": Existe un objeto de anillo separable conmutativo (es decir, monoide) $A$ en la categoría monoidal simétrica $C:=Stab(kG)$ tal que la categoría $A-Mod_C$ de $A$ -módulos de esa categoría $C$ es equivalente a la categoría estable $Stab(kH)$ y esto de tal manera que la restricción de $G$ a $H$ coincide con la extensión de las escalas con respecto a $A$ .

¡Así que la restricción a un subgrupo es de hecho una extensión de escalares!

La condición de que el índice de $H$ en $G$ es primo de la característica expresa exactamente la fidelidad del objeto del anillo $A$ . (La planitud es algo incorporado cuando se trata de categorías tensoriales trianguladas). De ahí la extensión de $H$ a $G$ ¡es realmente un descenso fiel(liso)!

Entonces se puede razonar de forma bastante geométrica, más o menos como con las extensiones etale (finitas). Incluso hay una topología de Grothendieck y una pila escondida entre los arbustos... Todo esto se explica en el preprint

"Pilas de representaciones de grupos"

disponible en mi página de publicación .

Answer 3

Probablemente no sea exactamente lo que buscas, pero ciertamente implica la teoría de la representación modular, ¡y es realmente genial! Una versión de descenso se utiliza en una prueba del teorema de estratificación de Quillen.

Supongamos que tenemos un grupo de Lie compacto, $G$ y un suave $G$ -manifold $X$ (si quieres sentirte modular, toma $G$ sea finito y $X$ para ser un punto). Nos gustaría mostrar que el mapa $H_G^*X \rightarrow \lim H_G^*A$ es un isomorfismo F, donde la cohomología tiene coeficientes en algún primo fijo, el límite se toma sobre una cierta categoría que involucra componentes de subespacios de punto fijo y los subgrupos abelianos elementales de $G$ y un "isomorfismo F" es un mapa de anillos tal que todos los elementos del núcleo son nilpotentes y cada elemento, $s$ en el codominio satisface $s^{p^n} \in \text{image}$ para algunos $n$ . (Esto implica, en particular, que las dimensiones de Krull de cada anillo son las mismas). En el caso del punto, el lado derecho es el límite sobre subgrupos abelianos elementales de $G$ .

Esta es una de las formas en que Quillen hace esto. Primero construye un espacio $\mathcal{F}$ de la siguiente manera: Elegir una representación unitaria fiel de $G$ , digamos que en $U(n)$ y que $\mathcal{F} = U(n)/S$ donde $S$ es el subgrupo del toro máximo formado por elementos de orden $p$ (es decir, matrices con $p$ -(raíces de la unidad en la diagonal y ceros en el resto). Este espacio tiene todo tipo de buenas propiedades como $G$ -(en particular, todos los grupos de isotropía son subgrupos abelianos elementales).

Ahora, Quillen demuestra el teorema para el $G$ -manifold $X \times \mathcal{F}$ (fíjate que aunque lo único que te importaba era cuando $X$ es un punto, todavía se necesitaría el enunciado general del teorema) y luego utiliza un divertido argumento usando una versión infantil del descenso fielmente plano para deducir el teorema para $X$ ¡!

No voy a dar el argumento aquí, pero básicamente utiliza la secuencia $X \times \mathcal{F} \times \mathcal{F} \Rightarrow X \times \mathcal{F} \rightarrow X$ (No sé cómo hacer una flecha doble aquí...) y muestra que aplicando H^* se obtiene una secuencia igualadora (esta es la parte del "descenso"), y aplicando el functor que aparece en el lado derecho del teorema también se obtiene una secuencia exacta. Entonces uno hace un argumento similar al de los 3 lemas para concluir el resultado. Es realmente genial. Para un relato mucho más detallado y entretenido, véase

http://www.math.washington.edu/~mitchell/Quillen/qnew.pdf