Un paso en la demostración del teorema de incrustación de Sobolev

Question

Estoy leyendo la demostración del teorema de incrustación de Sobolev en el libro de Brezis, pero no puedo entender el siguiente hecho.

Supongamos que ya hemos demostrado el siguiente lema:

Dejemos que $f_1$ , $f_2$ , $\dots$ , $f_N \in L^{N-1}(\mathbb{R}^{N-1})$ y establecer $$\tilde{x_i}=(x_1,x_2,\dots,x_{i-1},x_{i+1},\dots,x_N) \in \mathbb{R}^{N-1}.$$ Entonces la función $$ f(x)=f_1(\tilde{x_1})\dots f_N(\tilde{x_N}), \quad x \in\mathbb{R}^N$$ está en $L^{1}(\mathbb{R}^N)$ y $$||f||_{L^{1}(\mathbb{R}^N)} \leq \prod_{i=1}^{N}||f_i||_{L^{N-1}(\mathbb{R}^{N-1})}.$$

Ahora, en el teorema, se considera $u\in C_c^1(\mathbb{R}^N)$ y $$ f_i(\tilde{x_i}):= \int_{\mathbb{R}}\bigg|\frac{\partial u}{\partial x_i}(x_1,x_2,\dots,x_{i-1},t,x_{i+1},\dots,x_N)\bigg|dt $$ para que $$ |u(x)|^N \leq \prod_{i} f_i(\tilde{x_i}) $$ y entonces uno debería ser capaz (utilizando el lema anterior) -y este es el punto que me falta- de demostrar que $$ \int_{\mathbb{R}^N} |u(x)|^{\frac{N}{N-1}}dx \leq \prod_{i} ||f_i||^\frac{1}{N-1}_{L^1(\mathbb{R}^{N-1})} $$

Answer 1

Eleva ambos lados de tu penúltima desigualdad a la potencia $1/(N-1)$ e integrar para obtener $$ \int_{\mathbb{R}^N} |u(x)|^{N/(N-1)}dx \le \int_{\mathbb{R}^N} \prod_{i} f_i^{1/(N-1)}. $$ Ahora aplica tu lema a $$ g = \prod_{i} f_i^{1/(N-1)} $$ con $g_i = f_i^{1/(N-1)}$ . Esto da $$ \int_{\mathbb{R}^N} \prod_{i} f_i^{1/(N-1)} = \Vert g \Vert_{L^1(\mathbb{R}^N)} \le \prod_{i=1}^N \Vert g_i \Vert_{L^{N-1}(\mathbb{R}^{N-1})} = \prod_{i=1}^N \Vert f_i \Vert_{L^{1}(\mathbb{R}^{N-1})}^{1/(N-1)}. $$ Por lo tanto, $$ \int_{\mathbb{R}^N} |u(x)|^{N/(N-1)} dx\le \prod_{i=1}^N \Vert f_i \Vert_{L^{1}(\mathbb{R}^{N-1})}^{1/(N-1)}, $$ que es lo que buscabas.