para el problema de Cauchy, determinar la solución única, o ninguna solución, o infinitas soluciones

Question

para el problema de Cauchy, determinar la solución única, o ninguna solución, o infinitas soluciones

$u_x-6u_y=y$ con la fecha $u(x,y)=e^x$ en la línea $y=-6x+2$

Mi intento t:

dado $u_x-6u_y=y$ entonces $\frac{dx}{1}=\frac{dy}{-6}=\frac{du}{u}$

por lo que la solución general $\phi(6x+y, y^2+12u)=0$

y por tanto la ecuación implícita $y^2+12u=F(6x+y)$

pero no puedo ir más allá

Answer 1

dado $u_x-6u_y=y$ entonces $\frac{dx}{1}=\frac{dy}{-6}=\frac{du}{y}\quad$ no $=\frac{du}{u}\quad$ (error tipográfico).

$y^2+12u=F(6x+y)\quad$ está bien.

Condición $u(x,y)=e^x$ en la línea $y=-6x+2\quad\to\quad y^2+12e^x=F(2)=$ constante es imposible. Por lo tanto, no hay solución.

Condición $u(x,y)=1$ en la línea $y=-x^2\quad\to\quad x^4+12=F(6x-x^2)\quad$ permite determinar una función $F(X)= 12+(3\pm\sqrt{9-X})^4$ $$ u(x,y)=\frac{1}{12}\left(-y^2+ 12+\left(3\pm\sqrt{9-(6x-x^2)}\right)^4\right)$$ Condición $u(x,y)=-4x$ en la línea $y=-6x\quad\to\quad (-6x)^2+12(-4x)=F(0)=$ constante es imposible. Por lo tanto, no hay solución.

Answer 2

La regla general para las EDP hiperbólicas en dos variables es que en cualquier frontera se permiten tantas condiciones de contorno como características entren en el dominio. Esta pregunta se refiere al caso especial en el que la frontera del dominio coincide con una característica. En dicha frontera sólo podemos prescribir datos de contorno que satisfagan la ecuación característica. Este no es el caso aquí, por lo que hay un conflicto, y por lo tanto no hay solución.