¿Los factores del Grupo Burnside tienen Gamma?

Question

El grupo Free Burnside $G=B(2,665)=\langle a,b|g^{665} \rangle$ es infinito, según los trabajos de Adyan y Novikov. Además, el centralizador de cualquier elemento no identitario en $G$ es cíclico finito, por lo que el grupo es un grupo i.c.c. y el grupo izquierdo asociado álgebra de von Neumann $LG$ es un tipo $II_{1}$ factor. Es un hecho, debido a de Adyan, que este grupo no es amenable, por lo que el grupo álgebra de von Neumann no es inyectivo.

Un tipo $II_{1}$ factor $M$ con rastro $\tau$ tiene Propiedad $\Gamma$ si para cada subconjunto finito $\{ x_{1}, x_{2},..., x_{n} \} \subseteq M$ y cada $\epsilon >0$ hay un elemento unitario $u$ en $M$ con $\tau (u)=0$ y $||ux_{j}-x_{j}u||_{2}<\epsilon$ para todos $1 \leq j \leq n$ . (Aquí $||T||_2=(\tau(T^{*}T))^{1/2}$ para $T\in M$ .)

Debo mencionar que si un grupo es no interno susceptible en el sentido descrito en

¿Existe un grupo simple noamenable i.c.c. que sea amenizable interiormente?

entonces su álgebra de von Neumann de grupo izquierdo hace no tener una propiedad $\Gamma$ . (Existen grupos i.c.c. internos amenizables cuyas álgebras de von Neumann grupales no tienen $\Gamma$ como ha demostrado recientemente Stefaan Vaes: http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0909/0909.1485v1.pdf .)

Mi pregunta es:

¿El grupo álgebra de von Neumann $LG$ tener Propiedad $\Gamma$ ?

Answer 1

La respuesta es no, el álgebra de von Neumann del grupo Burnside $B(2,665)$ no tiene la propiedad Gamma. De hecho, $B(2,665)$ no es susceptible de ser interiorizado.

Para ver esto, primero hay que tener en cuenta que, como se señala en la pregunta, $B(2,665)$ es noamenable, y el centralizador de cada elemento no identitario de $B(2,665)$ es finito. Sin embargo, todo grupo interno amenable noamenable $G$ contiene un elemento no identitario cuyo centralizador es noamenable. Esto es una consecuencia de aplicar el siguiente lema folclórico conocido a la acción de conjugación de $G$ en $G-1$ :

Lema: si una acción de un grupo noamenable $G$ en un conjunto $X$ admite una medida de probabilidad invariante finitamente aditiva $\mu$ , entonces hay un punto $x\in X$ cuyo subgrupo estabilizador $G_x$ es noamenable.

Hay una variedad de pruebas de este lema. He aquí un argumento estándar para promediar: Supongamos que cada $G_x$ es susceptible. Dejemos que $X_0\subset X$ contienen un punto de cada $G$ -órbita y para $x\in X_0$ dejar $\nu _x$ sea una medida de probabilidad finitamente aditiva sobre $G$ que es invariante bajo la traslación a la izquierda por $G_x$ . Entonces $x\mapsto \nu _x$ se extiende a una asignación bien definida en todos los $X$ tomando $\nu _{g\cdot x} = g\cdot \nu _x$ para $x\in X_0$ , $g\in G$ . El baricentro $\nu = \int _X \nu _x \, d\mu (x)$ es entonces invariante bajo la traslación a la izquierda por $G$ Así que $G$ es susceptible, en contra de la hipótesis del lema.

Answer 2

Se abre una caja y se dice "no hay nada dentro". En un lenguaje estrictamente matemático (matemático-lógico) lo que quieres decir es: $$!\,\exists x\in ObjectsCouldBeInTheBox: InABox(x) $$ Lo que hace a continuación es una "trampa lingüística": toma una palabra " nada " en su frase. Lo que corresponde aproximadamente a un " $!\exists$ " de su declaración. Y no es un objeto. Ni siquiera es un predicado.

Pero "nada" es un sustantivo, por lo que parece que se puede operar con él como si fuera un objeto. Pues bien, esa es una sensación errónea.

Sólo hay que intentar formular la afirmación "El universo podría surgir de la nada" de forma estricta. Sólo puedo obtener algo como: $$\exists x\in SetOfNothings: UniverseEmergesFrom(x) $$ Y no sé qué $SetOfNothings$ es...