Resolver $x''(t) + tx'(t) - (t+1)x = 0$ utilizando la transformada de Laplace

Question

$x''(t) + tx'(t) - (t+1)x = 0$ , donde $x(0) = x'(0) = 1.$

La transformada de Laplace de $tx'$ es $-X(s) - sX'(s)$

La transformada de Laplace de $tx$ es $-X'(s)$

Así que obtenemos $s^2X-s-1-X(s)-sX'(s) + X'(s) - X(s) = 0.$

$$X'(s) + X(s) \frac{s^2-2}{s-1} = \frac{s+1}{1-s}.$$

Intenté resolver esta ecuación diferencial y luego invertirla en Laplace pero no funcionó

La respuesta es demasiado sencilla para lo mucho que la estoy complicando : $x(t) = e^t.$

Answer 1

Tienes un error de signo en tu reordenación: deberías tener $$X^\prime+\frac{s^2-2}{\color{blue}{1-s}}X=\frac{s+1}{1-s}.$$ Si esto sigue siendo difícil de resolver, utilice el Ansatz $X=\frac{Y}{s-1}$ así que $$(1+s)Y-Y^\prime=s+1,$$ que tiene una raíz evidente $$Y=1\implies X=\frac{1}{s-1}\implies x=e^t.$$ El gran $s$ El comportamiento de una transformada de Laplace excluye cualquier otra opción de $Y$ .

Answer 2

La respuesta de J.G es sin duda la mejor respuesta, pero también se puede utilizar el método general para resolver esta primera ED. $$X^\prime+\frac{s^2-2}{1-s}X=\frac{s+1}{1-s}.$$ El factor integrador $\mu (s):$ $$\mu (s)=\exp \int \frac{s^2-2}{1-s}ds$$ $$\mu (s)=\exp \left (\frac{-s^2}2-s +\ln |{s-1}| \right )$$ $$(X\mu (s))'=-({s+1})\exp \left (\frac{-s^2}2-s \right ).$$ Integrar $$X\mu (s)=- \int ({s+1})\exp \left (\frac{-s^2}2-s \right )ds$$ $$X\mu (s)=\exp \left (\frac{-s^2}2-s \right )+K$$ $$X (s)=\left (\frac 1{s-1} \right )+\frac K {\mu(s)}$$ Y utilizando la transformada inversa de Laplace se obtiene $x(t)=e^t$