Resolución del problema del calor total en un bar aislado

Question

Tengo un problema tratando de calcular el calor total en una varilla totalmente aislada. Aquí están las partes importantes del enunciado del problema que me han dado:

La ecuación de conducción de calor unidimensional, que gobierna la evolución espacial y temporal de la temperatura en una barra, viene dada por la siguiente ecuación diferencial parcial (EDP):

$$\frac{∂^2u(x,t)}{∂x^2}=D\frac{∂u(x,t)}{∂t} , D>0.$$

para $$0 < x <L$$

El bar está totalmente aislado. Así que eso sería que los límites están aislados, lo que significa $$\frac{∂u}{∂x}=0$$ en $$ x=0$$ y $$ x =L$$

Considere la temperatura inicial: $$u(x,0)=f(x)=−x(x−L)$$

Utiliza el Cálculo Vectorial para calcular el calor total en la barra para todo el tiempo t.

Sé que la integral para resolver el calor total es: $$∫^{L}_{0}u(x,t)dx, t\ge0$$

He resuelto la suma de las series para $u(x,t)$ pero no estoy seguro de cómo usar eso o cualquier otra cosa para resolver el calor total.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

No estoy seguro de cuánto cálculo vectorial estoy usando aquí, pero considera:

Denote el calor total en la barra en el momento $t \ge 0$ por $Q(t)$ por lo tanto

$Q(t) = \int_0^L u(x, t) dx. \tag{1}$

Entonces tenemos

$\dfrac{dQ(t)}{dt} =\dfrac{d}{dt} \int_0^L u(x, t) dx$ $=\int_0^L \dfrac{\partial u(x, t)}{\partial t} dx; \tag{2}$

ahora desde

$\dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}=D\dfrac{\partial u(x,t)}{\partial t} \tag{3}$

con $D > 0$ (2) se convierte en

$\dfrac{dQ(t)}{dt} = D^{-1} \int_0^L \dfrac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} dx. \tag{4}$

La integral de la derecha de (4) puede evaluarse así:

$\int_0^L \dfrac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} dx = \dfrac{\partial u(L, t)}{\partial x} - \dfrac{\partial u(0, t)}{\partial x} = 0 \tag{5}$

en virtud de las condiciones de contorno

$\dfrac{\partial u(L, t)}{\partial x} = \dfrac{\partial u(0, t)}{\partial x} = 0. \tag{6}$

Así, por (4) vemos que

$\dfrac{dQ(t)}{dt} = 0, t \ge 0; \tag{7}$

es decir $Q(t) = Q(0)$ es constante para todo $t \ge 0$ . Este resultado concuerda perfectamente con nuestra intuición física de que un cuerpo completamente aislado térmicamente no debería sufrir ninguna ganancia o pérdida neta de energía térmica total en el transcurso del tiempo. Por último, podemos calcular el calor total (constante) $Q(t)$ evaluando

$Q(0) = \int_0^L u(x, 0)dx = \int_0^L (Lx - x^2)dx$ $= (\dfrac{Lx^2}{2} - \dfrac{x^3}{3} \mid_0^L = \dfrac{L^3}{2} - \dfrac{L^3}{3} = \dfrac{L^3}{6}; \tag{8}$

el calor total en la barra es $L^3 / 6$ para todos $t \ge 0$ .