Diferenciando $\tan\left(\frac{1}{ x^2 +1}\right)$

Question

Diferenciar: $\displaystyle \tan \left(\frac{1}{x^2 +1}\right)$

¿Utilizo la regla del cociente para esta pregunta? Si es así, ¿cómo la empiezo?

Answer 1

Utilizamos la regla de la cadena para evaluar $$ \dfrac{d}{dx}\left(\tan \frac{1}{x^2 +1}\right)$$

Ya que tenemos una función que es una composición de funciones: $\tan(f(x))$ , donde $f(x) = \dfrac 1{1+x^2}$ Esto grita regla de la cadena ¡!

Ahora, recuerda que $$\dfrac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$$

y evaluar $f'(x) = \dfrac d{dx}\left(\dfrac 1{1 + x^2}\right)$ podemos utilizar la regla del cociente o la regla de la cadena. Utilizando esta última, tenemos $$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac 1{1 + x^2}\right)= \dfrac{d}{dx}(1 + x^2)^{-1} = -(1 + x^2)^{-2}\cdot \dfrac d{dx}(1+ x^2) = -\dfrac{2x}{(1+ x^2)^2}$$

Ahora, unimos la "cadena": $$\dfrac d{dx}\left(\tan \left(\frac{1}{ x^2 +1}\right)\right) = \dfrac{d}{dx}\Big(\tan(f(x)\Big)\cdot \Big(f'(x)\Big) = \sec^2 \left(\dfrac 1{1 + x^2}\right)\cdot \left(-\dfrac{2x}{(1+ x^2)^2}\right)$$

Answer 2

$\displaystyle \frac d {dx}\tan\frac 1 {1+x^2}$

$\displaystyle=\left(\frac d {du} \tan u\right)\left(\frac d {dx}\frac 1 {1+x^2}\right)$ [Regla de la cadena]

$=\cdots$ [Regla del cociente]

Answer 3

Respondiendo a esta también ahora, escribiré los pasos directamente

$$\frac{d}{dx}\left(\tan \frac{1}{1+x^2} \right)= \frac{d}{dy}\left.\left(\tan y \right)\right|_{y=\frac{1}{1+x^2}} \cdot\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{1+x^2} \right)$$

$$=\sec^2y|_{y=\frac{1}{1+x^2}} \cdot \left( - \frac{2x}{1+x^2} \right)$$

$$=\sec^2 \left( \frac{1}{1+x^2} \right) \cdot \left( - \frac{2x}{1+x^2} \right)$$

Answer 4

Su función no es un cociente. Es el tangente de un cociente, es decir $f(x) = \tan g(x)$ o de forma equivalente $f = \tan \circ \, g$ . Es una composición de funciones. Si te han dado este ejercicio, entonces te habrán enseñado a diferenciar una composición: $(u\circ v)' = (u' \circ\, v) \cdot v'$ .