Cómo demostrar rigurosamente que $\mathbb Q(i)$ corresponde a $\langle \sigma \rangle$ en la correspondencia de Galois?

Question

Dejemos que $\theta = \sqrt[8]{2}$ , $\zeta = e^{i\pi/4}$ (primitivo) $8$ raíz de la unidad) y $K = \mathbb Q(\theta,i)$ . Poner:

$$\sigma: \begin{cases} \theta \mapsto \zeta \theta \\ i \mapsto i \end{cases}$$

Me gustaría demostrar que $\mathbb Q(i) = F$ corresponde a $\langle \sigma \rangle$ en la correspondencia de Galois, es decir $\text{Gal}(K/F) = \langle \sigma \rangle$ . Obviamente $F$ está contenido en el campo fijo de $\langle \sigma \rangle$ así que tengo que mostrar la otra inclusión.

Puedo "ver" por qué se mantiene: $\sigma^k$ cambia $\theta$ y mantiene $i$ arreglado. Pero no puedo decir simplemente "si un elemento tiene $\theta$ en él, entonces no está fijado por $\sigma$ ". Cómo hacer rigurosamente ¿probar la igualdad?

Answer 1

¿Rigorosamente, has dicho?

Justifique las siguientes afirmaciones:

1. Porque $K=\Bbb{Q}(\theta,i)$ cualquier automorfismo $\tau\in Gal(K/\Bbb{Q})$ está determinada de forma única, si conocemos $\tau(\theta)$ y $\tau(i)$ .
2. Porque $[K:\Bbb{Q}]=8\cdot2=16$ vemos que el grupo de Galois tiene dieciséis elementos.
3. Hay $8$ alternativas para $\tau(\theta)$ y dos para $\tau(i)$ . Por lo tanto, todas las combinaciones deben ocurrir exactamente una vez. De ahí que el automorfismo $\sigma$ que ha descrito existe.
4. Tenemos $\sigma(\zeta)=-\zeta$ . Sugerencia: escriba $\zeta$ en términos de $i$ y $\sqrt2$ .
5. Demostrar que $\sigma$ tiene el orden ocho.
6. Dejemos que $H=\langle \sigma\rangle$ . Demostrar que $[Gal(K/\Bbb{Q}):H]=2$ . Por lo tanto, $\operatorname{Inv}(H)$ es una extensión cuadrática de $\Bbb{Q}$ .
7. Demostrar que $\Bbb{Q}(i)\subseteq \operatorname{Inv}(H)$ y concluir que debemos tener igualdad aquí.