Construyendo $C^2$ -mapas

Question

Quiero construir dos $C^2$ -mapas $f,g:[0,3]\rightarrow[0,1]$ con las siguientes propiedades:
1. $f(x)+g(x)=1$ para todos $x\in[0,3]$
2. $f$ tiene soporte incluido en $[0,2)$ y $g$ tiene soporte en $(1,3]$

Lo que yo pensaba:
El soporte de un mapa $\phi$ es $\overline{\{x\in[0,3]:\phi(x)\neq 0\}}$ . Así, $f$ debe ser cero para $x\geq2-\epsilon$ y $g$ debe ser cero para $x\leq1+\delta$ para $\epsilon,\delta>0$ .
Mi mejor opción fue definir dos funciones lineales a trozos $f$ y $g$ que están constantemente $1$ en $x\leq 1+\delta$ y $x\geq 2-\epsilon$ respectivamente. Sin embargo, estos no son dos veces diferenciables en los puntos de frontera $x=2-\epsilon$ y $1+\delta$ .

¿Hay algún ejemplo mejor? Si no, ¿cómo puedo hacer estos mapas lineales a trozos $C^2$ ?

Answer 1

Puede tomar: si $x\in [1+\epsilon,2-\epsilon]$ , $g(x)= \frac{\int_{1+\epsilon}^x(t-1-\epsilon)^2(2-\epsilon-t)^2dt}{\int_{1+\epsilon}^{2-\epsilon}(t-1-\epsilon)^2(2-\epsilon-t)^2dt}$ ,

y, si $x \leq 1+\epsilon$ , $g(x)=0$

y, si $x \geq 2-\epsilon$ , $g(x)=1$

Entonces, tomamos: $f(x)=1-g(x)$ para todos $x \in [0,3]$ .

Entonces $f(x)+g(x)=1$ para todos $x$ .

Dejemos que $A=\int_{1+\epsilon}^{2-\epsilon}(t-1-\epsilon)^2(2-\epsilon-t)^2dt$

$A>0$

Para $x \in ]1+ \epsilon,2- \epsilon[$ , $g'(x)=\frac{(x-1- \epsilon)^2(2-\epsilon-x)^2}{A}$ .

Así que, $\lim_{x \mapsto (1+ \epsilon)^+} g'(x)=0$ .

$g''(x)=\frac{1}{A}(2(x-1-\epsilon)(2- \epsilon-x)^2-2(x-1-\epsilon)^2(2-\epsilon-x))$

Así que $\lim_{x \mapsto (1+ \epsilon)^+} g''(x)=0$

Y: $\lim_{x \mapsto (1+ \epsilon)^-} g'(x)=0$

$\lim_{x \mapsto (1+ \epsilon)^-} g''(x)=0$

Así que, $g$ es $C^2$ en $x=1+ \epsilon$ .