Integral Exponencial General

Question

Pregunto si existe una forma cerrada o un límite superior o inferior ajustado para la integral exponencial general definida como:

$\int_{x=x_{0}}^{\infty}x^{-n}e^{-x}dx$

donde $n\geq2$ (mi problema original es para $n=3$ ) y $x_{0}$ es un número real positivo

Para $n=1$ la integral se llama integral exponencial y está acotada como sigue: Integral Exponencial

$\frac{1}{2}e^{-x_{0}}\ln\left(1+\frac{2}{x_{0}}\right)<\int_{x=x_{0}}^{\infty}x^{-1}e^{-x}dx\leq e^{-x_{0}}\ln\left(1+\frac{1}{x_{0}}\right)$

Estoy buscando límites similares para el general $n\geq2$ .

Agradezco su ayuda. Gracias

Answer 1

Utilizando la integración por partes, tenemos $\int_{x=x_{0}}^{\infty}x^{-n}e^{-x}dx=\frac{1}{\left(n-1\right)!}\left(\frac{e^{-x_{0}}}{x_{0}^{n-1}}\sum_{k=0}^{n-2}\left(-1\right)^{k}\left(n-k-2\right)!x_{0}^{k}+\left(-1\right)^{n-1}\int_{x=x_{0}}^{\infty}x^{-1}e^{-x}dx\right)$

Utilizando los límites superior e inferior de la primera ( $n=1$ ) integral exponencial, obtenemos

$\frac{1}{\left(n-1\right)!}\left(\frac{e^{-x_{0}}}{x_{0}^{n-1}}\sum_{k=0}^{n-2}\left(-1\right)^{k}\left(n-k-2\right)!x_{0}^{k}+\left(-1\right)^{n-1}\frac{1}{2}e^{-x_{0}}\ln\left(1+\frac{2}{x_{0}}\right)\right)<\int_{x=x_{0}}^{\infty}x^{-n}e^{-x}dx\leq\frac{1}{\left(n-1\right)!}\left(\frac{e^{-x_{0}}}{x_{0}^{n-1}}\sum_{k=0}^{n-2}\left(-1\right)^{k}\left(n-k-2\right)!x_{0}^{k}+\left(-1\right)^{n-1}e^{-x_{0}}\ln\left(1+\frac{1}{x_{0}}\right)\right)$