Una pregunta sobre los grupos y la teoría de Galois

Question

Estoy estudiando Álgebra Abstracta y necesito construir una extensión cíclica de orden $2^5 3^4 5^{10}$ . No tengo ni idea de cómo hacerlo. ¿Podría alguien ayudarme?

Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $2^53^45^{10} + 1$ es primo (al menos según WolframAlpha ).

Si dejamos que $\zeta_n$ denotan una primitiva $n$ raíz de la unidad, entonces el campo ciclotómico $\mathbb{Q}[\zeta_n]$ que es un campo de división de $f(x) = x^n - 1$ tiene un grupo de Galois isomorfo a $\mathbb{Z}_n^\times$ .

Cuando $n$ es primo, entonces es un teorema que $\mathbb{Z}_n^\times \cong \mathbb{Z}_{n-1}$ .

Answer 2

Puedes buscar en campos finitos. Si $q$ es una potencia primera, entonces la extensión $\Bbb F_q \subset \Bbb F_{q^N}$ es cíclico de orden $N$ (es generado por el $q$ el automorfismo de potencia $x \mapsto x^q$ ).

Así que puedes elegir $q=2$ y $N = 2^5 3^4 5^{10}$